無理を通せば道理が引っこむ

＜先　生＞まずは，前回の復習です。隣接二項漸化式

　　　a_n+1-pa_n=f(n)

の一般解は，平衡値を求めて両辺の項のバランスをとることで求められたね。f(n)が定数とnの一次式の場合については考えたけど，今日は，f(n) =qr_n (q≠0)の形のものの一般解について，調べてみよう。

＜まなぶ＞最初にa_nとa_n+1をαとおきます。

　　　α-3α=2ⁿ

　与式との差をとって，a_n-α=3(a_n-α) 。ここでα=-2^n-1だから，

　　　　　　　　a_n+1+2^n-1=3(a_n+2^n-1)　……　(＊)

　そして，最後にバランスをとります。左辺の2^n-1を2ⁿに換えて，右辺を調整すると……，あれっ？

　先生，どうやって調整したらいいか分かりません。

＜先　生＞左辺を2倍したわけだから，右辺も2倍すると考えても，どうやら，うまくいきそうにないですね。困った。誰か，アイデア下さい。

＜かず子＞取りあえず，変形された式を予想すればいいんではないでしょうか。

　左辺は2ⁿで，右辺は2^n-1になればいいんだから，たぶん

　　　a_n+1+β2ⁿ=3(a_n+β2^n-1)　……(♭)

　となれば問題は解決すると思います。

＜先　生＞うん。なんか良さそうだね。では，この式を満たすβはどうやったら求められるだろう。

＜よしお＞(♭)を変形して，

　　　a_n+1-3a_n=-β2ⁿ+3β2^n-1

　　　　∴　　a_n+1-3a_n=β2^n-1

　この式と与式の右辺を比較して，β=2を得ます。よって，

　　　a_n+1+2ⁿ⁺¹=3(a_n+2n)

＜先　生＞その通り。どうしたんだろう。今日はみんなやけに冴えてるね。さあ，どうやら，バランスがとれたね。では，残りの解答をまなぶにまとめてもらおう。

＜まなぶ＞はい。

　数列｛a_n+2ⁿ｝は公比3の等比数列で，初項は，a₁+2=7，よって一般項は，

　　　a_n+2ⁿ=7･3^n-1

　　　　∴　a_n=7･3^n-1-2ⁿ　

＜先生＞本当にみんな冴えてる。素晴らしいね。幸せな気分で今日は終れそうです。

＜まなぶ＞先生，質問なんですが。この場合，(＊)は結局は使ってないことになりますが，何の意味があったんですか？

＜先　生＞　……。

Ｎｏｔｅ）

　かなり，虚構性の強い内容になってしまいましたが，この場合の(＊)は，確かに結果としては不要になってしまいます。敢えて，理由を付けるのなら式(♭)を導くためのイメージ作りということになるでしょう。値2^n-1を振り分けて，β2^n-1を作ると考えればいいわけです。ただそれ以上に実は，この解法は大きな発展性を含みもっています。

　一般にa_n+1-pa_n=qrⁿ　の解法は，マニュアル的にはその両辺をpⁿまたはqⁿで割ることにより求められますが，特性方程式の概念を発展させるのであれば，特解(特性解)を理解する必要があると思います。

　例えば，隣接二項漸化式

　　　a_n+1-pa_n=f(n)

を解くためには，

　　　t_n+1-pt_n=f(n)　　………(♯)

なる式を用意します。二式の差をとると，

　　　a_n+1-t_n+1=p(a_n-t_n)

と変形できますから，｛a_n-t_n｝は公比pの等比数列となり，一般解

　　　a_n+1=-t_n+ (a₁-t₁)p^n-1

が得られます。

　この(♯)の式を満たす数列｛t_n｝の1つを特解といいますが，このときf(n)が定数のとき(♯)は特性方程式を意味している訳であり，特解は平衡値となります。結局，本文の小手技は，間接的に，(＊)のイメージ付けからこの(♯)を求めたことになっている訳です。

　具体的に，本文のｅｘ）の問題で考えると，

　　　t_n+1-3t_n=2ⁿ

に対して，t_n=α2ⁿとおくと，

　　　a2ⁿ⁺¹-3α2ⁿ=2ⁿ

両辺を2ⁿで割って，

　　　2α-3α=1

　これから，α=-1。よって，tn=-2ⁿより，

　　　　∴　a_n=-2ⁿ+7･3^n-1

となります。

　それでは，この特解による解法を利用して，次の問題を解いてみましょう。

解）和をS_nとおくと，

　　　S_n =1+3･2+5･2²+ ･･････+(2n-1)･2^n-1

　これから，

　　　S_n-S_n+1=(2n+1)･2n

　よって，この隣接二項漸化式の一般解を求めればよいことになります。

　　　t_n+1-t_n=(2n+1)2ⁿ ……… �@

　二式の差をとって，S_n-t_n+1= S_n-t_n　

　これから，S_n-t_n= S1-t₁= a₁-t₁= 1-t₁

　また，�@を満たす特解を，t_n=(a_n+β)･2ⁿとすると，�@に代入して，

　　　{α(n+1)+β}･2ⁿ⁺¹-(αn+β)･2ⁿ=(2n+1)･2ⁿ

　　　2(αn+α+β)-(αn+β)=2n+1

　　　(α-2)n+(2α+β-1)=0

　nの恒等式とみると，α=2，β=-3

　よって，t_n=(2n-3)･2ⁿですから，

　　　S_n=t_n+(1-t₁)=(2n-3)･2ⁿ+3