○三角形のやじろべぇ

ex) 三角形ＡＢＣの内部の点Ｐが 　　　 を満たしているとき、次の問いに答えよ。 (1) 線分ＡＰの延長が辺ＢＣと交わる点をＤとするとき、ＢＤ：ＤＣおよび、ＡＰ：ＰＤを求めよ。 (2) △ＰＢＣ：△ＰＣＡ：△ＰＡＢを求めよ。

＜先　生＞図形問題をベクトルで解決するにはまず始点を決めることから始めるんだったね。どこに始点を設定すればいいだろう。

＜よしお＞平面上の適当な場所に、点Ｏを決めます。

＜かず子＞あるいは三角形の頂点の1つを始点にします。

＜先　生＞そうだったね。でも今日の授業ではそれ以外の始点を考えてみようか。他に何処を始点にすればいいと思う。

＜生徒達＞………

＜先　生＞迷うことなんてないんじゃないかな。だって問題文で与えられている点は限られているんだから。

＜まなぶ＞……まさか点Ｐですか。

＜先　生＞正解。でもどうして「まさか」なんだい。

＜まなぶ＞だって、点Ｐは求める点ですよね。まだ分かっていない点を始点にするのはなんか釈然としないのですが。

＜先　生＞でもね。先ほどよしおは始点を原点Ｏにすれば、ということをいってたね。じゃあ、その原点はどこにあるかっていったら答えられないだろう。点Ｐだって同じだろ。それに問題文をよくみてごらん。既に点Ｐを始点として表現されているじゃないか。だったらそれを使えばいいわけで、新たに始点を設定する必要性はないのではないだろうか。とにかくやってみようか。条件式より、
　　　
　さあ、ここで、左辺をみてごらん。分点の公式を考えると左辺の分母になにがあると都合がいいだろうか。

＜よしお＞ 3＋4=7です。そうすると、
　　　
となり、右辺は線分ＢＣを4：3の比に内分する点を表しています。

＜先　生＞そうだね。その点をＤとしようか。すると、
　　　
　この式の右辺から点Ｐはどこにあるか考えてごらん。

＜かず子＞点Ｐから反対方向に2つの点Ａ，Ｄがあり、その長さがＰＡ=7とすると、ＰＤ=2ですよね。

＜先　生＞そうだね。これでもう問題(1)が求められていることが分かるかな。まとめよう。
　点Ｐは、線分ＢＣを4：3の比に内分する点Ｄに対して、線分ＡＤを7：2の比に内分する点である。
ということだね。

＜まなぶ＞凄い。めっちゃ簡単にでちゃった。何か不思議ですよね。

＜先　生＞不思議でもなんでもないよ。さきほどいったように、点Ｐを始点とみるのが自然で、それ以外に始点を設定する方が不自然ではないだろうか。では後半(2)だ。さあ、どうするんだっけ。

＜かず子＞点Ｄによって、三角形ＰＢＣは三角形ＰＢＤと三角形ＰＤＣに分割されますが、それぞれの面積比は、底辺ＢＤとＤＣの長さの比に等しいことを利用します。
　この場合ＢＤ：ＤＣ=4：3ですから、△ＰＢＤ=4s，△ＰＤＣ=3sとおけます。
　次に、△ＰＡＢ：△ＰＢＤ=ＡＰ：ＰＤ=7：2だから、えーっと、△ＰＢＤ=4sなんだから、……、あのー、△ＰＢＤ=8sにして、もう一回やっていいですか。

＜先　生＞いや、もういいよ。みんなもやり方はいいね。結局分割された1つの三角形の面積sを基準にして他の面積をsで表せばいいということだな。かず子はなるべ値が分数にならないように数値合わせに苦労していたみたいだけどね。でもね、もう一度よく図形をみてごらん。いま、ＢＤ：ＤＣ=4：3だったね。では△ＰＡＢと△ＰＣＡの面積比はなんだろう。

＜まなぶ＞うーん、△ＡＢＤと△ＡＤＣなら底辺ＢＤとＤＣの比と同じだから4：3なんだけどな。

＜かず子＞あっ、そうか。△ＰＡＢと△ＰＣＡの比も4：3だわ。

＜まなぶ＞どうしてだい。

＜かず子＞だって、まなぶのいってた三角形から△ＰＢＤと△ＰＤＣを引いたものが、△ＰＡＢと△ＰＣＡでしょ。引く三角形の面積比も4：3なんだから、△ＰＡＢと△ＰＣＡの面積比だって変わらないわ。

＜先　生＞結論がでたね。では△ＰＣＡの面積はどうなるだろう。

＜まなぶ＞まず△ＰＡＢと△ＰＢＤの面積比は底辺ＡＰとＰＤの比と同じだから7：2です。だから、△ＰＡＢ=7sとおくと、△ＰＢＤ=2s，次にＢＤ：ＤＣ=4：3なんだから……。

＜先　生＞おいおい、それじゃさっきのかず子の計算と同じようなことをしているよ。△ＰＢＣ=△ＰＢＤ＋△ＰＤＣだ。ここで、△ＰＡＢと△ＰＢＤの面積比はＡＰとＰＤの比と一致する。△ＰＣＡと△ＰＤＣについても同じだね。そうすると、△ＰＡＢ＋△ＰＣＡと、△ＰＢＣの面積比はどうなる。

＜まなぶ＞そうか。やっぱり、ＡＰとＰＤの面積比に一致します。そうすると、△ＰＡＢ＋△ＰＣＡ=4＋3=7とみれば、あれ、ＡＰ：ＰＤ=7：2だからうまくできますね。△ＰＢＣ=2です。ラッキーですね。

＜先　生＞実は偶然でもなんでもないんだ。これは当然そうならなければいけないんだ。もう少し、別の見方をしてみようか。問題文を今度は、
　　　
としてみよう。もうみんなはこれからＢＰの延長が辺ＣＡをどのように分けるか分かるね。

＜かず子＞はい。交点をＥとすれは、ＣＥ：ＥＡ=2：4　です。

＜先　生＞これは1：2だけど、2：4のままにしておこう。すると、△ＰＢＣ：△ＰＡＢ=2：4とだせるんだったね。ところで△ＰＡＢ：△ＰＣＡ=4：3だったんだから、
　　　△ＰＢＣ：△ＰＣＡ：△ＰＡＢ=2：3：4

＜まなぶ＞へーっ、不思議だ。これもきれいに求められている。

＜先　生＞なんでもいうけど、不思議でもなんでもない。至極当たり前のこれは結果なんだ。

＜まなぶ＞先生、そろそろ種明かしをしてよ。

＜先　生＞その前にもうひとつ質問。この面積比の数字をみて何か気が付くことはないだろうか。

＜よしお＞僕も気になっていたんですけど、問題文の式のベクトルの係数に一致してますよね。

＜まなぶ＞ほんとだ。ミステリーだ。

＜先　生＞くどいようだけど、不思議でも何でもない。まなぶがうるさいから種明かしに移ろう。まず、下準備として、次の問題を考えてみよう。

ex)　　　を満たす△ＡＢＣの内部の点Ｐを求めよ。

＜かず子＞先ほどと同様にして……

＜先　生＞そんな必要はないよ。ちょっと始点をＯに変えてみてごらん。

＜かず子＞ だから、 。なんだ、点Ｐは三角形ＡＢＣの重心ですね。

＜先　生＞一般に、三角形の重心をＧとすると、
　　　
なる大事な関係が成り立つ。ここで、始点ＯをＧに移してやると、 だから、 となるわけだ。
　ところで、Ｐが三角形の重心であるならば、ＡＰとＢＣとの交点をＤとすると、ＡＰ：ＰＤ，ＢＤ：ＤＣは簡単だよね。

＜まなぶ＞ＤはＢＣの中点だから、ＢＤ：ＤＣ=1：1，ＡＰ：ＰＤ=2：1です。

＜先　生＞では、△ＰＢＣ：△ＰＣＡ：△ＰＡＢを求めるとどうなる。

＜よしお＞重心は中線の交点だから、先ほどの考え方を使うと、3つの三角形の面積は等しくなります。

＜先　生＞これから当たり前の結果がでる。三角形の内部の点が重心であるとき、その点で、三角形は面積の等しい3つの三角形に分割されるということだ。面積が重さに比例すると考えれば、重心とは三角形が内部で釣り合う点ということになる。

＜まなぶ＞なんか、当たり前のような、そうでないような。

＜先　生＞話を続けるよ。さて、いま釣り合うといったけど、三角形上ではこれは別の見方ができる。三角形の各頂点に、同じ重さをぶらざけたとき、釣り合う点を重心ともいうんだ。

＜まなぶ＞頭が痛くなってきた。

＜先　生＞まなぶのために実際に示したほうがいいだろう。さあ、いま、図の三角形の頂点に同じ重さ1gを乗せてみよう。みんなは理科の時間に力のモーメントを学んだろ。ここで、線分ＡＢについて、釣り合う支点を求めてやる。どこだろう。

＜まなぶ＞もちろん中点です。

＜先　生＞その点をＤとしよう。このＤにかかる重さは当然、両端の重さの合計2gだ。では、次に、線分ＡＤで、釣り合いをとってみよう。そのときの支点はどこだろう。

＜よしお＞今度は、点Ａに1g、点Ｄに2gの重さがかかっているんだから、線分ＡＤを2：1の比に内分する点で釣り合います。あっ、その支点が重心Ｇなんですね。

＜先　生＞その通り。このように各辺の両端にかかる重さのバランスをとっていけば重心の性質が簡単に導かれね。それじゃ、本題だ。では、今日、最初にみんなに提示した問題のベクトルの関係式は何を意味している。

＜生徒達＞………

＜まなぶ＞ひょっとしたら、ベクトルの頭にくっついている係数は、その位置ベクトルを表す頂点の重さですか。

＜先　生＞大正解だ。ちょっと図に書いてみよう。各頂点に係数に相当する重さをぶら下げよう。点Ａには2g、点Ｂには3g、点Ｃには4gということだ。さて、バランスをとっていこう。かず子やってごらん。

＜かず子＞はい。まず、辺ＢＣですが、Ｂ，Ｃに3g，4g乗っかっているから、支点をＤとすると、ＢＤ：ＤＣ=4：3、このとき支点Ｄには7gの重さが加わります。次に、ＡＤ上で釣り合いをとると、Ａに2g，Ｄに7gより、ＡＤを7：2の比に内分する点で釣り合います。その点がＰということですね。

＜まなぶ＞不思議だ。ほんとうに求まってしまった。

＜先　生＞もうわかっただろうか。一般に、
　　　
という式は、各頂点Ａ，Ｂ，Ｃにそれぞれk,l,mの重さを乗せたときに三角形が点Ｐで釣り合っているということだ。右辺の が釣り合いを示していることになる。重心を各頂点の平均値と考えると、このように頂点に重みをつけた重心のことを荷重平均といい、その重心を質量中心というんだ。
　さて、問題の後半の面積比だ。先ほど、面積は重さに比例するといった。いま各頂点に加わっている重さを面積でつり合わせてみよう。例えば、点Ａと△ＰＢＣが釣り合うとみる。そうすると、△ＰＢＣの面積は、点Ｐにかかる重さkとみればいい。同様に残りの頂点Ｂ，Ｃについて考えれば、
　　　△ＰＢＣ：△ＰＣＡ：△ＰＡＢ=k：l：m
が得られる。

＜まなぶ＞はーっ、幾何学の真髄、神秘性に触れたような。ファンタジックだなあ。

＜かず子＞同感だわ。底が知れているまなぶがいうと、余計底の深さを感じて感動ものだわ。

　

あとがき