She loves him それとも He is loved by her

＜先　生＞なに！、なんか恥ずかしいことをしたのか？

＜かず子＞どうしたの、先生、そんなに大きな声出して。私が聞きたいのは「たいすう」のことなの。

＜先　生＞指数、対数のたいすう？

＜かず子＞そう、それ。対数って何者なんでしょうか。

＜先　生＞ずいぶん、対数に失礼な言い方だな。対数は、N=a^MのときにMを求める式で……。

＜かず子＞先生、それは分かるんです。先生が授業で説明してくれたことは理解できたんですけど、対数と指数の違いがよく分からないんです。考えれば考えるほど、指数と対数は同じことをいっているような気がしてきて。

＜先　生＞いってることがよく分からないが。

＜かず子＞教科書で確認してみたんです。指数については、
　　　「aの累乗aⁿに対して、nをこの累乗の指数という」
こう書いていました。次に対数ですが、
　　　「a^p=M となる実数pをaを底とするMの対数という」
となっています。そうすると、pがMの対数ということは、M=a^pですから、累乗の指数部分を対数ということでしょう。そうしたら、このpは指数にも対数にもなるってことじゃないですか。いったい対数って何者なんでしょう。

＜先　生＞ふーん。面白い見方だね。よしおとまなぶは確か教室にいたよね。みんなでそのことを考えて見ようか。

＜先　生＞…かず子の疑問はいまみんなに話したとおりだ。みんな、かず子の悩みに付き合ってくれないだろうか。まず、対数と指数の関係を考える前にちょっと次の問題をやってもらおうか。

ex) 次の文章をheを主語にして書き換えよ。 　　　She loves him

＜まなぶ＞先生、いったいどうしたの。対数の勉強するんじゃなかったんですか。

＜先　生＞そのつもりだよ。まなぶ、いいからやってごらん。

＜まなぶ＞先生、ぼくは数学より英語の方が得意ってこと知ってました。能動態を受動態に書き換えろってことでしょ。

He is loved by her

＜先　生＞まあ、確かに数学よりはスラスラ答えているね。

＜かず子＞まなぶのこと、ちょっと見直したわ。でも先生、これが指数・対数といったいどんな関係があるんですか。

＜先　生＞実は、指数と対数の関係もこの英文の書き換えと同じなんだよ。つまり、累乗a^Mの値がNであるとき、
　　　N=a^M
ということだけど、これを日本語に訳すと、
　　　「N はaをM乗したものである」
文字の並びが N，a，Mの順に翻訳するとこうなる。では順番を逆にしてM，a，Nの順に読むとどうなるだろう。

＜よしお＞「Mはaを累乗するとNとなる値である」ということでしょうか。

＜まなぶ＞累乗がMってことだからちょっと表現が難しい言い方だけどそうなるだろうな。

＜先　生＞日本語で訳そうとすると確かに無理があるかもしれないが、この関係は元の式に対しては受身の式になっていることは分かるだろう。英語における能動態と受動態の関係は、動詞についてはex)では、
　　　love ⇒ is loved by
となり、動詞loveを「be動詞+過去分詞+前置詞」と書き換えるわけだ。これを数式でも同じように考えてやる。すなわち「累乗する」という動詞を、
　　　a^○　⇒　log_a○
と変化させる。そして、M，a，Nの順番に今度は式を読んでいくと、
　　　M，a，N　⇒　M=log_aN
この受動態の形で表現された主語Mが対数なんだ。
例えば、
　　　
と受身にしたときのlog₂8が対数ということだ。

＜まなぶ＞本当だ。ひとつの文法とみてしまえは簡単に変形できそうですね。
　　　
うん。一発だ。

＜先　生＞ただし、右辺は対数や累乗の計算結果である値にしておかないと読み替えはできないから注意しよう。
ところでいままなぶが読み替えた式は対数計算の基本となるものだ。ついでだからこの受身文法で指数法則が対数法則ではどう表現されるか考えて見ようか。

これが、指数・対数法則だったね。では指数法則１から順に受身にしていってみよう。
まず、左辺で
　　　M=a^p，N=a^q
とおく。

＜よしお＞これを受身に読み替えるわけですね。
　　　p=log_aM，q=log_aN　 　……�@
となります。

＜先　生＞ここで指数法則１は、MN=a^p+qとなるからさらに読み替えてやる。

＜かず子＞ p+q=log_aMNとなるわ。そして先ほどの読み替えた式�@を代入して終わりね。

＜よしお＞指数法則１を読み替えたら対数法則２になるんですね。

＜まなぶ＞指数法則２の式は僕がやろう。
　　　M=a^p
とおいて受身にすると、
　　　p=log_aM 　……�A
元の式はM^p=a^pqだからこれをまた受身にして、
　　　pq=log_aM^q
�Aを代入して終了。対数法則２になったぞ。

＜先　生＞最後は指数法則３だ。まなぶが２番をやってしまったから、しょうがない、この問題はかず子に考えて貰おうか。

＜かず子＞先生は何かまなぶにやって欲しかったみたいね。では私が代わりに。
x=a^p，y=b^pとおいて読み替えると、
　　　p=log_ax，p=log_by
また、xy=(ab)^pを読み替えて、
　　　p=log_abxy
みんなpの式になったわ。この式を組み合わせて………
あれっ、おかしいできないわ。どうしてだろ？……
そうか分かったわ！

＜先　生＞おっ、さすがだな。どう読み直すのかな。

＜かず子＞受身の仕方が分かったんじゃなくて、先生がこの問題をまなぶにさせたかった理由が分かったということです。だって、どう考えても読み替えができないような気がするんですが。

＜まなぶ＞先生の考えそうなことだよな。でもかず子。逆に対数法則３を受身にしたらきっとやり方が見えてくるんじゃないだろうか。

＜かず子＞なるほどね。じゃあ、まず右辺を読み替えて見るわ。
x=log_ca，y=log_cbを指数に読み替えて、
　　　a=c^x，b=c^y　　……�B
もともとの式は、
　　　だから、
とみて読み替えて、
　　　
で、最後に�Bを代入して、
　　　
あれ、指数３にならないわ。どうしてだろう。

＜よしお＞この式は指数法則２ですよね。ということは、指数法則２を読み直したものが対数法則３になるってことでは。

＜先　生＞その通り。これは先生が変換してみようか。指数法則２は
　　　(c^x)^y=(c^y)^x 　　　……�C
という関係であることを意味している。そこで、a=c^x，b=c^yとおき、読み替えると、
　　　x=log_ca，y=log_cb
また�Cより、b^x=a^y。これを読み替え、y=log_ab^x=xlog_ab
　　　∴　
先ほどよしおが予想した通り対数法則３に変換できたね。

＜かず子＞そうすると、指数法則２の式は対数法則２にも３にも読み直しができるということですよね。そうしたら、対数法則２と３は同じ式ってことになりませんか。

＜まなぶ＞確かにそうだよな。まてよ。先生、ということは、対数法則２から３を証明できるってことですよね。

＜先　生＞いいチームワークだね。その通りだ。でもそれを確認する前にちょっと次の式を見てもらおうか。

＜まなぶ＞何ですか。この指数だか対数だか煮え切らないはっきりしない式は。

＜よしお＞でも確かにこの式は成立するしているね。だって読み替えをすると、
　　　log_ax=log_ax
という当たり前の式になってしまう。

＜先　生＞そうだね。当たり前ということは簡単に確認できるね。
もう少し詳しく説明しようか。
　　　y=log_ax　　……�D
を受身にすると、
　　　x=a^y　　……�E
ここで対数�Dを�Eの指数部分に代入するんだ。すると先ほどの式が得られる。

＜まなぶ＞なるほど、２回続けて受動態にしたら元の形に戻ってしまったということか。

＜先　生＞その通りだ。さあ、では、先ほどのまなぶの疑問に応えてよう。
対数法則２の関係式を
　　　log_ca^p=p log_ca　　……�F
としよう。ここで、p=log_ab とおき、�Fに代入すると、
　　　(左辺)=
これから、log_cb=log_ab log_ca だから、
　　　

＜まなぶ＞凄い。できちゃった。

＜かず子＞この証明は逆に辿れそうですから対数法則２と対数法則３は同値ということになりますよね。

＜まなぶ＞あれっ？、そうすると指数法則３はどうなっちゃうんだ。

＜かず子＞必要ない？ってことでしょうか。

＜よしお＞対数計算は、対数法則１〜３ですべて可能であり、それが指数法則１，２に対応しているわけだから、確かに指数法則３は必要なくなりますよね。ということは、指指数法則３は、数法則１，２より導くことができるのではないでしょうか。

＜まなぶ＞それじゃ、どうしてこの式が指数法則１，２の式と並んで法則として載ってるんだろう。

＜かず子＞それは指数法則を使って計算するときに、法則としてあった方が便利だからと思うわ。それが対数法則では当たり前の計算になってしまって、法則として載せる必要がなかったのではないのかしら。

＜先　生＞そういうことだね。だから指数法則３は対数法則を使えば簡単に証明できるということでもある。実際、
　　　log₁₀(ab)ⁿ=n(log₁₀a+log₁₀b)
　　　　　　　　=nlog₁₀a+nlog₁₀b
　　　　　　　　=log₁₀aⁿ+log₁₀bⁿ
　　　　　　　　=log₁₀aⁿbⁿ
これから両辺の真数を比較すると指数法則３が得られてしまうね。万事めでたし解決だ。

＜まなぶ＞先生、待ってよ。まだかず子の質問が解決していないんじゃないですか。

＜かず子＞そうよね。先生が説明してくれたのは、指数から対数への読み替えから指数法則に対応する対数法則を導き出したということですよね。でも、私の聞きたかったのは、指数と対数って同じことをいっているように思えるということです。その質問の答えはまだ聞いていないわ？

＜先　生＞なんだ、話したつもりだったんだけどね。先ほど、の証明のときに、「対数を指数部分に代入」っていったよね。これは対数と指数が同じことを意味していなければできないことだろ。

＜まなぶ＞ずいぶんあっけなく断言しちゃうんですね。

＜かず子＞そうか。やっぱり私の推測は正しかったんだわ。でも先生、そうするとどうして、「指数」とか「対数」とか区別しなきゃいけないの。私には区別することで却って混乱の原因を作ってしまっているように思えるわ。

＜先　生＞そのことについても既に説明はしてあるんだよ。
もう一度、最初の話題に戻ろうか。
能動態・受動態の関係は「彼女は彼を愛している」という文で考えれば
　　　(彼女)=(愛してる)+(彼)　　⇔　　(彼)=(愛されている)+(彼女)
ということであり、これが指数と対数では
　　　N=a^M　⇔　M=log_aN
ということだった。このとき、対数および指数はMのことであり、英文和訳では、彼のことだ。
ここで、英文では能動態の目的語の彼(him)は、受動態では主語の彼(he)に変化しているだろう。指数・対数の関係もこれと同じなんだよ。主語や目的を何にするかによって表現が変化したと考えればいいんだ。基準を考えるってことは数学でもとても重要なことなんだ。
　ほら、ロガリズムの記号をよーくみてごらん。しすうの文字が浮かび上がってこないだろうか。
　指数を対数としてみることによって指数では計算できなったことも驚くほど簡単に求められるようになる。視点を変えて見ると新しい発見があるものなんだ。
　たとえば、「She loves him」を、受動態にして、「He is loved by her.」、こうみることで、何かが見えるような気がしないかな、まなぶ。

＜まなぶ＞指数と対数が同じことだけど同じ使い方ではないことは分かりました。でも、その英文はいったい何の意味があるんでしょうか？

あとがき

３．(ab)p=apbpの証明 　適当な実数qを考えると、とおけます。 　　　(左辺)==(右辺)

指数より便利な対数という道具を手に入れてから、私たちはいつの間にか指数法則３は使わなくなってしまっているのです。
ところで、指数には対数以外にもう一つ別の読み替えである文法表現があります。
例えば
　　　8=2³は、3=log₂8
と対数表現されますが、底２を主語として、
　　　
と表すこともできます。mが２以上の自然数の場合、次の３つはすべてm，n，aの同じ関係を表していることになります。
　　　
特に、３つめの累乗根はべき乗に関係する式ですが、この式の使い方も指数・対数に間にあって微妙な関係にあり、形式不変の原理から有理指数への拡張に合わせて都合のいいように定義されたような印象を指数・対数単元では受けてしまいます。さらに、拡張が成立した段階では「捨て去られてしまう」傾向がありますが、独立した分野として理解する必要を強く感じています。そのうち小手技でそのことに触れることができればと思います。
最後に、本文の終わりで、先生がまなぶに投げかけた言葉を彼はどう受け止めたのでしょうか。
今回の小手技でも伏線として、かず子とまなぶの微妙な関係を織り交ぜています。
天然ボケなのか、鈍感なのか、照れなのか、どう解釈していいか分からないまなぶの姿勢に対して、先生が、ちょっかいを出してきました。

※指数法則は底=1の場合も成立しますが、もちろん対数法則では底≠１ですので、この場合に対しての同値性となります。
※文中終わりに「ｌｏｇ」を「しすう」を読んでいますが、これは何かの本に書いてあったような気がします。出展元が探せませんでした。参考文献として載せることができず、申し訳ありません。