札幌新川高等学校　　中村文則

○初めに公差ありき

＜まなぶ＞えーっと、(初項)+(n-1)×(公差)だから、
　　　　　　2+(n-1)×3=3n-1
です。

＜先　生＞ かず子、いいかな？

＜かず子＞ はい。何か問題でもあるんですか。

＜先　生＞ 一般項はあっている。ただその求め方がちょっと気になる。先生の質問の仕方に何か感じなかったかい。

＜よしお＞ ……、そういえば先生は公差から先にいってましたよね。

＜まなぶ＞ そうだ。だから、妙に計算がしにくかったんだ。等差数列は初項から一定数ずつ増えていく数列なんだから、最初に初項を考えるべきで、さっきのように出題されると計算がワンテンポ遅れてしまうよね。

＜先　生＞　確かに公式に適用すると、まなぶのいう通りだけど、でも等差数列で初項の値はそれほど大事なことなんだろうか。

＜まなぶ＞ そりゃ、大事ですよ。何事も始めが肝心でしょ。

＜先　生＞ いいこというね。じゃあ、ちょっと質問を変えよう。公差３の等差数列を一つ挙げるとしたらみんなはどんなものを考える。

＜かず子＞ うーん、３，６，９，１２，１５，……　でしょうか。

＜先　生＞ たぶん、他のみんなも同じように、初項が３である公差３の等差数列を考えたのでないだろうか。では公差が４ではどうだろう。

＜よしお＞ 初項４の等差数列で、４，８，１２，１６，……となります。

＜先　生＞ ところで、これらの数列は初項なになに公差なになにの等差数列というのではなくもっと分かり易い表現があるだろ。

＜まなぶ＞ 倍数ということですか。

＜先　生＞ その通り。初項３で公差３の等差数列は、３の倍数といえる。つまり、この場合、公差はどんな数の倍数かということを表している訳だ。では、そう考えると初項は何を意味することになるだろう。

＜かず子＞ ……あのう、余りですか。

＜まなぶ＞ どういうこと、かず子。

＜かず子＞ 等差数列は、ｎの一次式で表されるじゃないですか。例えば、４ｎ＋３といったら、４で割ったら余りが３の等差数列とみればいいんです。

＜まなぶ＞ なるほど。でも一般項が４ｎ＋１０なんて等差数列も考えられるよ。そしたら余りは１０になってしまうじゃないか。

＜先　生＞ まなぶのいう通りだね。４ｎ＋３の場合も、n=1とすると、初項は７だから、これも余りとはいえないね。でもかず子の発想は間違いじゃない。余りを倍数の値からどれだけ離れているかというズレと解釈すると、等差数列でも初項は倍数のズレを表しているとみればいいんだ。そうすると４ｎ＋３や４ｎ＋１０は、倍数４ｎに対して、それぞれ４、１０右方向に数がズレたというように考えられる。

＜よしお＞ そうか。だから最初に公差なんですね。公差で倍数が決まって初項でズレるというわけか。

＜先　生＞ そうだね。等差数列は「最初に公差ありき」なんだ。では、公差７で初項４の等差数列の一般項はどうみればいいかな。

＜まなぶ＞ はい。まず７の倍数だから、７ｎ。そして初項が４になるようにズラすと……、７ｎ−３が一般項になります。

＜先　生＞ 正解だ。では、演習問題を１つ。

＜かず子＞ a_n=a+(n-1)d とすると、a₁₂=30,a₂₇=60 ですから、
　　　a+11d=30, a+26d=60
　あとはこれを解けばいいわ。

＜先　生＞ おいおい、それじゃ「初めに公差ありき」の演習にならないよ。もとの等差数列の一般項の公式に戻ってしまっている。

＜よしお＞ では先生、どうすればいいんでしょうか。

＜先　生＞ 数列の大事な性質をおさらいしておこう。　　　「数列の並びから適当な部分を選んでも、もとの数列の性質は引き継がれる」ということだ。例えば、等差数列のどの部分を切り取っても公差が同じである等差数列になっているというわけだ。

＜よしお＞ ということはこの問題も、第１２項と第２７項を切り取ってひとつの等差数列を考えろということですね。

＜まなぶ＞ そうか。じゃあ、第１２項が初項で、第２７項がえーっと、第１６項で、そして……、先生、僕には却って難しくなってしまったような気がするんですけど。

＜先　生＞もう一度言うけど、 「初めに公差ありき」だ。初項を最初に考えてしまうと本末転倒になってしまう。大事なことは、公差をどれだけ加えていったかということなんだ。右図をみてみよう。第３項から第７項の間に加えられた公差は７−３＝４つだね。これは、a₃を初項と考えれば、
　　　　　　　　　　　a₃+(7-3)d=a₇
ということだ。これから、
　　　
　これを、a_nからa_nまでの等差数列にしても同じことだろ。

＜かず子＞　a_n=a_m+(n-m)d
ということですね。そうすると、これから となります。

＜先　生＞ ではこれを利用して先ほどの問題を解いてごらん。

＜まなぶ＞ 公差をdとすると、 。すると２の倍数だから２ｎ、あとは初項を求めて……？、あれ、どうすればいいんだろう。

＜かず子＞ まなぶ、第１２項目を初項と考えるといいんじゃないの。

＜まなぶ＞ そうか。そうすると、n=12を代入して２４、これが３０になるようにズラすといいわけだから、一般項は、２ｎ＋６　です。なるほど。こうやって等差数列をみるとなんだかぐっと数列が身近になったような気がしますね。

○和から公差へ

＜よしお＞ これは簡単ですね。公式
　　　
に当てはめればＯＫです。

＜先　生＞一般項から和を求めることは難しいけれど、その逆は簡単によしおのいった公式から、どんな数列{a_n}に対しても求められるんだったよね。でも、この問題の場合、和はnの定数項のない一次式で表されているね。この場合、求める{a_n}はどんな数列だろう。

＜かず子＞はい。等差数列です。

＜先　生＞　であれば、前回の結論から何を求めればいいかというと……

＜まなぶ＞ 初めに公差ありきですね。

＜先 生＞ そうだね。では、和が S_n=pn²+qn なら、等差数列の公差はなにかということだが、それは、等差数列の和の公式をみるといい。

＜まなぶ＞　(和)=１/２・(項数)(初項＋末項) でしたよね。

＜先　生＞ ガウス少年の発想を再現すると、等差数列の和は、最初と最後の項の平均に項数を掛けたものだったね。すなわち、等差数列の一般項を a_n=dn+e とするとその和は、n/2･(初項+dn+e) ということだ。これからpとｄの関係が簡単に導かれる。

＜かず子＞d=2pですね。そうか、dは公差だから、和を表しているnの２次式の２次の項の係数を２倍したものが公差ということですね。

＜よしお＞ なんだ。すると僕が計算しようとしていたことは無駄なことだったんだ。問題の２次の項の係数は３だから、公差は６。したがって６の倍数だから６ｎ。あとは初項ですね。

＜まなぶ＞ それはよしおのいってた a₁=S₁ が使える。S₁=3+4=7 だからズレを考えると、a_n=6n+1 となります。

＜先　生＞ よしおの述べた公式は、任意の数列の和からその一般項を求めるためのものなんだ。等差数列という既に和の公式が与えられているものに対してまで使う必要はない。等差数列では常に「初めは公差ありき」ってことだね。

○終りも公差ありき

　この問題は、機械的に計算すれば求められる。どうすればいい。

＜よしお＞ 問題文を式化していくと。
　　　a₃=-40，S₁₆-S₅=0
　あとは、初項をa、公差をdとして、aとdの関係式を２つ作ればいいと思います。

＜先　生＞そうだね。それを初めに公差ありきで求めてみよう。まず、「第６項から第１６項までの和が０」というのはどういう状態なんだろうか。

＜かず子＞ 第３項が負の値だから、条件を満たすためには公差は正の値をとり、項の値は増えていって、６項と１６項の間の項で、正負が相殺されて０になるのだと思います。

＜先　生＞素晴らしい。ちょっと確認してみようか。「等差数列はどこで切っても等差数列」であることを使おう。第６項、第１６項の値をそれぞれa,bとして、関係式を求めるとどうなるだろう。

＜まなぶ＞第６項を初項と考えると、第１６項までの項数は１１だから、和の公式から、
　　　

＜先　生＞これからb=-a なる関係が得られるね。これは、第６項と第１６項は絶対値が等しい異符号の値ということだ。すると等差数列であることより第７項と第１５項、第８項と第１４項などもみな同じ関係のpairになるわけだ。ところで、項数は１１だったから、pairにならない項がひとつある。それは第何項だろう。

＜よしお＞第６項と第１６項の平均である第１１項だと思います。

＜先　生＞ではその第１１項の値はなんだろう。

＜かず子＞pairが相殺されて、かつ和が０なんだから、singleの第１１項は０でなくちゃおかしいわ。

＜先　生＞そう、その通り。結局この問題は、第３項が−４０で、第１１項が０となる等差数列の一般項を求めろということだ。

＜まなぶ＞ そうすると、初めに公差ありきだから、
　　　
　一般項は５ｎ＋…で、第３項が−４０だから、５ｎ−５５となります。

＜先　生＞ では後半の最小値を計算してごらん。

＜よしお＞ 計算の必要はないと思います。だって、第１１項が０なんだから、第１１項かまたは、その前の第１０項までの和が最小値であることは明らかです。

＜先　生＞ ＯＫ！。では、もう1題。

　もちろん、この問題も式化して解くことが可能だけれども、条件の意味から進めてみよう。

＜かず子＞ 第６項までの和と、第１４項までの和が等しいということは、第７項めから第１４項までの和は影響していないということだから０ということだと思います。

＜まなぶ＞ そうか。そうするとこの問題は先ほどのex3)とまったく同じってことだ。第７項と第１４項の平均の項が０であればいいから、足して２で割ると……、あれっ、先生、分数になっちゃいます。

＜先　生＞そうだね。第７項から第１４項までの項数は８項。すなわち、すべての項でpairが作られてしまうんだ。そうすると先ほどのような考え方はできなくなってしまうね。なにかいい方法はないだろうか。

＜よしお＞先生、取りあえず平均を求めると、 。だから、第１０項と第１１項がpairになることが分かるから、これから第３項のpairを探せばいいのではないでしょうか。

＜先　生＞うん。いい考えだ。第９項と第１２項、第８項と第１３項っていうように数えていけばいい。あるいは、pairを第m項とすれば、
　　　
を満たすから、m=18 と求められる。さあ、あとはやってご覧。

＜かず子＞ 第３項が６、第１８項が−６だから、公差dは、
　　　
となります。したがって、 でn=3のとき、６となるズレαを見つけると、一般項は となります。

＜先　生＞さあ、ラストだ。後半を解いてみよう。これも「どこで切っても等差数列」ってことを利用し、第ｎ項を初項と考えると、第(n+7)項は８項目になる。したがって
　　　
　これから、|T_n|≧0であることより、|-8n+56|≧0　よって、n=7で最小値0となることが分かる。
　でも、みんなはもうこんな計算をしなくても答えは出せるよな。まなぶ、代表していってご覧。

＜まなぶ＞はい。項数が８項だから、相殺して０になる４つのpairを作ればいいだけです。第１０項と第１１項が一番近いpairだから、第１０項から３つ前の項が答えになります。すなわち、第７項です。

＜先　生＞正解だ。結局、等差数列の問題は、最後まで公差が絡んでいたのが分かるね。「終りも公差ありき」ってことだ。

あとがき

　これは、ズレを無視すると、３の倍数と４の倍数ということになりますから、共通項は、３と４の最小公倍数である１２の倍数ということになります。あとは、１２ｎのズレを見つけて、その和を求めればいいわけです。

　次に「等差数列はどこで切っても公差が同じ等差数列」という考え方は、とくに群数列では欠かすことのできないものでしょう。そしてここにも「初めに公差ありき」が顔を覗かせます。解決の糸口は、等差数列では常に公差なのです。ところで後半は、応用問題へのトライとなり、小手技という内容からは少しはずれてしまいました。(最近、だんだんと「こてわざ」というより、「こったわざ」になる傾向が顕著になってきています。)。
　これを小手技風にアレンジすると、次のようになるでしょうか。
　まず、等差数列がnの１次式で表されるということに注目しましょう。すると、a_n=pn+q とみれば、(nが自然数であるということを無視すると)直線の方程式を表しています。すると、公差pは、直線の傾きと考えることが可能になるわけです。
　そうするとex2)の第１２項が３０、第２７項が６０の等差数列の一般項は、２点(12,30),(27,60)を通る直線の方程式を求めれぱいいわけです。
　したがって、
となります。

　ex3)も同様です。さらにex4)ですが、まず、第３項が６より、点(3,6)を考えます。次に第７項と第１４項の平均が０ということから なる点を通る直線を求めればいいことになります。これから、
　　　が得られるわけです。
　なお、「初めに公差ありき」はもちろん等比数列にあっても同様です。「初めに公比ありき」です。その典型は隣接２項漸化式でしょう。
　　　a_n=2a_n+3
を満たす数列 {a_n} の一般項は、平衡値によりズレを修正します。では何がずれていたのかというと、
　　　a_n=2a_n
であることは明白でしょう。これから、 {a_n} は公比２の等比数列が少しずれたと解釈できます。したがって、
　　　a_n=p2ⁿ+q
とおけます。さて、あとはp,qの値ですが、第１項、第２項の値を代入すれば簡単に求められるわけです。
　この解法は隣接３項漸化式でも裏技として紹介されるものです。