平成10年度2年生の「数学B」を3年ぶりに担当して4か月経ちました。
新学期は「第1章 ベクトル」から授業を開始。ベクトルの「内積の定義」が,生徒にとっては難しく感じられ「定義」がスーッと頭に入っていかないようでした。
生徒にとって「内積の定義」をわかりやすく導入するには,どうしたらよいかその方法を考えてみました。来年(平成11年)度の「数学B」の教科書を10冊参考にしました。
2つのベクトル,
に対して
を
と
の内積といい記号で
と書く。
内積の定義![]() ![]() ![]() |
これを内積の定義とする導入方法は,唐突な感じをうけ生徒にとってチンプンカンプンと思われる。・・・以下次のように続く。
・ベクトルのなす角
でない2つのベクトル
,
に対して1点Oを定め,
,
である点A,Bをとる。このとき∠AOBの大きさθを
,
のなす角という。ただし,0°≦θ≦180°
でない2つのベクトル
,
に対し,2点A(a1,a2),B(b1,b2)をとれば,
,
である。
,
のなす角が0°≦θ≦180°のとき△OABに余弦定理を適用すると
AB2=OA2+OB2−2OA×OB cosθ
(b1−a1)2+(b2−a2)2=(a12+a22)+(b12+b22)−2OA・OBcosθ
−2(a1b1+a2b2)=−2OA・OBcosθ
ここで ,OA=
,OB=
である。
ベクトルの内積![]() ![]() ![]() |
でない2つのベクトル
,
に対して1点Oを定め,
,
とする。
このとき∠AOB=θを ,
のなす角という。ただし0°≦θ≦180°
このときを,
と
の内積といい,記号
で表す。
内積の定義![]() ![]() ![]() |
・内積の成分表示
でない2つのベクトル
,
を
,
とし,原点Oを始点として,
,
である点A,Bをとる。
,
のなす角をθとすると
△OABに余弦定理を用いると AB2=OA2+OB2−2OA×OB cosθ
ゆえに
この等式はまたは
のときも成立。
内積と成分![]() ![]() ![]() |
余弦定理から
へと進む。
でない2つのベクトル
,
に対して,点Oを定め
,
であるように点A,Bをとる。
このとき∠AOBの大きさθを,
のなす角という。ただし 0°≦θ≦180°とする。
△OABにおいては,余弦定理により BA2=OA2+OB2−2OA×OB cosθ
・・・ @
これは θが0°または180°のときも成り立つ。
このように,2つのベクトル,
に対して
を考えることは図形的にも意味がある。
を,
と
の内積といい 記号で
と表す。
ベクトルの内積 定義1. ![]() 定義2. ![]() ![]() ![]() |
を
の
上への正射影として扱う。
2つのベクトルについて,加法・減法以外の演算を考えてみよう。
でない2つのベクトル
,
について1点Oを定めて
,
とするとき∠AOB=θを
,
のなす角という。ただし 0°≦θ≦180°
このとき を
と
の内積といい
と表す。
内積の定義 ![]() |
内積の定義から内積と成分へは,導入その2と同様な形式で進む。
![]() ![]() ![]() |
は
を表す記号であることを力説してイメージとして2辺きょう角がうかぶようにさせる。
![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() |
スカラー積のことを,内積(inner product)という。
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
スカラー積![]() ![]() ![]() ![]() |
実数実数=実数, 複素数
複素数=複素数 であるが,ベクトルのスカラー積は ベクトルにならないので,スカラー積はふつうの意味の積ではない。
しかし,ふつうの積に似た性質(1)(2)(3)があるため,便宜上積とよぶ。
交換法則 (1)
分配法則 (2)
結合法則 ただしαは実数 (3)
2つのベクトル,
によってつくられる平行四辺形の面積を,この面に直角の方向をもったベクトル
,
のベクトル積といい,
で表す。
ベクトル積のことを外積(outer product)という。
べクトル積の大きさは,2つのベクトルのなす角がθのとき
とする。ただし,その向きはから
へ180°の角度でまわるとき右ねじの進む向きとする。