平成10年度2年生の「数学B」を3年ぶりに担当して4か月経ちました。
　新学期は「第１章　ベクトル」から授業を開始。ベクトルの「内積の定義」が，生徒にとっては難しく感じられ「定義」がスーッと頭に入っていかないようでした。
　生徒にとって「内積の定義」をわかりやすく導入するには，どうしたらよいかその方法を考えてみました。来年（平成11年）度の「数学B」の教科書を10冊参考にしました。

　2つのベクトル，に対して　をとの内積といい記号でと書く。

内積の定義 　　，のとき

　これを内積の定義とする導入方法は，唐突な感じをうけ生徒にとってチンプンカンプンと思われる。・・・以下次のように続く。

・ベクトルのなす角

　でない２つのベクトル，に対して１点Oを定め，，である点A，Bをとる。このとき∠AOBの大きさθを，のなす角という。ただし，0°≦θ≦180°
　でない2つのベクトル，に対し，2点A(a₁，a₂)，B(b₁，b₂)をとれば，，である。

　，のなす角が0°≦θ≦180°のとき△OABに余弦定理を適用すると
　　AB²=OA²+OB²−2OA×OB cosθ
　　(b₁−a₁)²＋(b₂−a₂)²＝(a₁²＋a₂²)＋(b₁²＋b₂²)−2OA･OBcosθ
　　−2(a₁b₁＋a₂b₂)＝−2OA･OBcosθ
　ここで　，OA=，OB=である。

ベクトルの内積 　　とのなす角をθとすると

　でない２つのベクトル，に対して１点Oを定め，，とする。
　このとき∠AOB=θを　，のなす角という。ただし0°≦θ≦180°
　このときを，との内積といい，記号で表す。

内積の定義 　　とのなす角をθとすると

　・内積の成分表示

　でない２つのベクトル，を，とし，原点Oを始点として，，である点A，Bをとる。
　，のなす角をθとすると
　△OABに余弦定理を用いると　AB²=OA²+OB²−2OA×OB cosθ
　　　
　　ゆえに　　
　　この等式はまたはのときも成立。

内積と成分 　　とのなす角をθとすると

　余弦定理からへと進む。

　でない２つのベクトル，に対して，点Oを定め，であるように点A，Bをとる。
　このとき∠AOBの大きさθを，のなす角という。ただし　0°≦θ≦180°とする。
　△OABにおいては，余弦定理により　BA²=OA²+OB²−2OA×OB cosθ
　・・・　�@
　これは　θが0°または180°のときも成り立つ。

　このように，2つのベクトル，に対して　を考えることは図形的にも意味がある。　を，との内積といい　記号でと表す。

＊　考察　余弦定理から　を導くと，図形的なイメージがあるので内積がわりとスムーズに導入できる。
　　　

ベクトルの内積 　　定義１．　　 　　定義２．，のとき

　をの上への正射影として扱う。

　2つのベクトルについて，加法・減法以外の演算を考えてみよう。
　でない２つのベクトル，について1点Oを定めて，とするとき∠AOB＝θを，のなす角という。ただし　0°≦θ≦180°

　このとき　をとの内積といい　と表す。

内積の定義

　内積の定義から内積と成分へは，導入その2と同様な形式で進む。

，のとき

　は　を表す記号であることを力説してイメージとして2辺きょう角がうかぶようにさせる。

は，との内積である。記号でと表す。

は，平行四辺形の面積である。面積は記号でSと表す。

　スカラー積のことを，内積（inner product）という。

直観的定義　2つのベクトル，の大きさを，，とのなす角をθとするときで表されるスカラー量（実数）をベクトルとのスカラー積といい，で表わす。

スカラー積の代数的表示 　　，　のとき

　実数実数＝実数，　複素数複素数＝複素数　であるが，ベクトルのスカラー積は　　ベクトルにならないので，スカラー積はふつうの意味の積ではない。
　しかし，ふつうの積に似た性質(1)(2)(3)があるため，便宜上積とよぶ。
　　　　　交換法則　　　　　　　　　　　　(1)
　　　　　分配法則　　　　　　　　　　(2)
　　　　　結合法則　　ただしαは実数　(3)

　2つのベクトル，によってつくられる平行四辺形の面積を，この面に直角の方向をもったベクトル，のベクトル積といい，で表す。
ベクトル積のことを外積（outer product）という。
　べクトル積の大きさは，2つのベクトルのなす角がθのとき
　　　
とする。ただし，その向きはからへ180°の角度でまわるとき右ねじの進む向きとする。