札幌厚別高等学校 片岸 洋
数学Ⅰの個数の処理や確率の分野で，以前に出題した中に次のような問題があった。ある生徒の解答は，授業中に教えた内容，あるいは期待したものとは違っており，おもいもよらない考え方をしたものもあった。
| ２桁の自然数のうちで，十の位の数と一の位の数の和が奇数になるものは何個あるか。 |
≪教師の解答≫
≪生徒の解答≫
９×５＝４５（個）
（２桁の十の位の数は９通りある。そのそれぞれに対して和が奇数になるのは５通りあるので ９×５＝４５（個））
９０÷２＝４５（個）
（２桁の整数は全部で９０個あり，奇数はその半分で，９０÷２＝４５（個））
| 区別のつかない白玉４個，赤玉２個，黒玉６個から６個を取り出す方法は何通りあるか。ただし，取り出さない色の玉があってもよい。 |
≪教師の解答≫
| Ｂ：６ | ||
| Ｂ：５，Ｗ：１ | Ｂ：５，Ｒ：１ | |
| Ｂ：４，Ｗ：２ | Ｂ：４，Ｗ：１，Ｒ：１ | Ｂ：４，Ｒ：２ |
| Ｂ：３，Ｗ：３ | Ｂ：３，Ｗ：２，Ｒ：１ | Ｂ：３，Ｗ：１，Ｒ：２ |
| Ｂ：２，Ｗ：４ | Ｂ：２，Ｗ：３，Ｒ：１ | Ｂ：２，Ｗ：２，Ｒ：２ |
| Ｂ：１，Ｗ：４，Ｒ：１ | Ｂ：１，Ｗ：３，Ｒ：２ | |
| Ｂ：０，Ｗ：４，Ｒ：２ |
≪生徒の解答≫
【参考】
その他の個数へのー般化は難しいと思われるが，たとえば，白玉４個，赤玉２個，黒玉５個から６個を取り出す方法は，上の解答から全部黒の場合を除けば良いので，
５×３－１＝１４（通り）
また，白玉４個，赤玉３個，黒玉６個から６個を取り出す方法も，白４個，赤３個の場合を除けば良いので，
５×４－１＝１９（通り）
と同じように求めることができ，この考え方を用いて求めることができる。
| Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇの８人が抽選をして４人，３人，１人の部屋にはいるとき，Ａ，Ｂの２人が同じ部屋に入る確率を求めよ。 |
≪教師の解答≫
≪生徒の解答≫
生徒の解答には何も説明がないが，実際にｐ人，ｑ人，ｒ人で合計ｎ人を部屋に入れる場合を考える。特定の２人Ａ，Ｂがｐ人（ｐ≧２）の部屋に入る確率を求めると
となり，どんな場合でも成り立ちそうである。
なぜこうなるか自力では理解できず，他の先生に相談したところ，異なる８個の場所に並べる順列で考えて，次の解答を得た。
８人をー列に並べるのは８！（通り），Ａ，Ｂが３人部屋に入るのは３×２（通り），その他の並べ方は６！（通り）より
同様にＡ，Ｂが４人部屋に入るのは，４×３（通り），その他の並べ方は６！（通り）なので
つまり，求める確率は
となる。
一般的に考えると，特定の２人Ａ， Ｂがｐ人（ｐ≧２）の部屋に入る確率は，異なるｎ個の順列で考えて，
となる。
順列と組合せの関係では，今年の試験でも似たような解答があった。
| 父母２人と子供３人の計５人が１列に並ぶとき，父母が列の両端にくる確率を求めよ。 |
≪教師の解答≫
≪生徒の解答≫
この解答は偶然かもしれないが，前の問題と同じように考えることができる。
５人をー列に並べるのは５！（通り），両親が両端にくるのは２！（通り），その他の並べ方は３！（通り）なので
となる。
この場合はＰでもＣでも同じ答えになるが，実際はＰの計算でなければ，考え方は正しいとは言えないかもしれない。部分点も含めて得点にするかしないかは各教師の判断によるだろうが，私としては，“疑わしきはマル”のつもりで正解にしている。
めったにはないが，試験で生徒が面白い発想をすることがあり，真剣に取り組んだ答案には，私の方が考えさせられ，悩んだ解答もあった。もしかしたら今までもこんな解答を見逃していたかもしれない。もう少し注意が必要であると実感すると共に，生徒の解答から学ぶことも少なくはないことを改めて感じている。