指数現象のモデルとしてバクテリアの例がよく利用されている。１０時間毎に２倍ずつ増えてゆくバクテリアについて調べてみよう。
はじめに着目したのが２個のバクテリアがどのように変化してゆくかについて考える。２個のバクテリアが同時に分裂するのではないという状況から出発してみよう。２個のものがある時間を経過したあとに３個となり，４個，５個，・・・，８個・・・となってゆくが，ある時刻から，ある時刻との間においてはバクテリアの分裂は起きていないので，その間のバクテリアの個数は変化しないということになる。このバクテリアを１万個とか１０万個とかの単位で大量に観察してみるとどうなるであろうか。
ある時刻に分裂するバクテリアと次に分裂するバクテリアの間の時間間隔は非常に小さなものとなり，バクテリアの個数が多ければ多いほど分裂と分裂の時間間隔は微小なものとなってゆき，ついには無視してよいことになってゆくであろう。つまり観察しているバクテリアの量が多ければ多いほど，その変化の仕方はなだらかで次第に連続的な曲線とみなしてよいことになってゆく。
以上述べてきた状況を示しているのが，図１，図２，図３のグラフである。
そこで大量のバクテリアを観察する例をとりあげるには，１０時間毎に重さが２倍ずつ増えてゆくというように，個数が増加してゆくイメージから，重さが倍変化してゆくというイメージを切り替えて考えているのである。つまり本来は個数の増殖という離散的変化としての現象を重さの倍変化という連続的変化として捉えなおしているのである。
放射能の現象なども，指数関数で表すことができる。個々の原子の出す放射能は離散的な値なのであるが，何百グラムかの放射能物質の中には６×１０23個等という膨大な量の原子が含まれている。このことから放射能の減少はなだらかに連続的に変化してゆくと考えてよいのである。
２つの例について考察したが，本来は離散的な変化である現象も，大量現象の観察という場合には連続的変化とみなすことが可能である。
指数関数のモデルとして，バクテリアの増殖とか，放射能の現象などをとりあげるとき，これを前提として考えていることに注意する必要がある。
実験法則によるとある媒質を通る光で、光の方向に垂直な平面を通る光の量は単位距離進むごとに１/ａ倍となってゆく。
（図１）はそのような状況を略図で示したものである。
（図２）のように直方体でできている媒質があり、光がこの中を通り抜けてゆくとする。この図には書いてないが、この媒質の周囲は一切光を通さない物質でおおわれていて光源を発した光はこの直方体の中だけを通ってゆくことができるようになっている。
また発せられる光の量は常に一定で図の右から左の方向へと直進しているものとしよう。この直進している光の方向に沿って、数直線が図の如く設定されている。
またこの数直線に垂直な平面による直方体の切り口が、
ＡxＢxＣxＤx、Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1、Ａ0Ｂ0Ｃ0Ｄ0、Ａ-1Ｂ-1Ｃ-1Ｄ-1、…
等であるとする。
光は直方体の内部を通りながら、この媒質に少しずつ吸収されてＡ0Ｂ0Ｃ0Ｄ0面を通る光の量はＡ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1面を通る光の量の１/ａ倍になっている。またＡ-1Ｂ-1Ｃ-1Ｄ-1面を適る光の量はＡ0Ｂ0Ｃ0Ｄ0面を通る光の量の更に１/ａ倍になっている。このことはＡ0Ｂ0Ｃ0Ｄ0面を違る光の量を基準にして考えると、観測者がＡ0Ｂ0Ｃ0Ｄ0面から光源に向って単位距離だけ進むと光の量はａ倍になって観測され、光源から遠去かるように単位距離だけ進むと光の量は１/ａ倍になったとして観測されるということである。またこの媒質はどの位置においても物質の構成は一様であれば、どの位置を基準にしても光源に向って単位距離だけ進むとそこでの光の量は出発点での光の量のａ倍になっていることにも注目しておくこととしたい。しかもＡ0Ｂ0Ｃ0Ｄ0面を通る光の量はＡ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1面を通る光が単位距離だけ光源より遠去かって急に１/ａ倍の量になったということではない。
Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1面から少しでもＡ0Ｂ0Ｃ0Ｄ0面に向って進むとき、光は進むにつれて吸収され続けて単位距離だけ進んだ時点で１/ａ倍となっているということである。
逆に観測者がＡ0Ｂ0Ｃ0Ｄ0面からＡ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1面に向って進んでゆく場合、それぞれの点での面を通る光の量は次第に増加しつつ単位距離だけ進んだＡ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1面に於いてはａ倍になっているということになるのである。
今後簡単に表現する為に、面Ａ0Ｂ0Ｃ0Ｄ0を通っている光とか、面ＡxＢxＣxＤxを通っている光という代りに、目盛０を通っている光，目盛ｘを通っている光という表現を用いることにしたい。
更に筒略化して、目盛０における光とか目盛ｘにおける光等という表現を用いたとしても、（図２）の状況を想起するならぱ内容に混乱を起こすことはないと思われる。
今、目盛りがｘの位置を通る光の量をＩxと表わすとき次のことがいえる。
Ｉ1＝ａＩ0、Ｉ2＝ａＩ1＝ａ2Ｉ0、Ｉ3＝ａＩ2＝ａ3Ｉ0、…
そしてｘが整数でない場合でも
Ｉ5/2＝a5/2Ｉ0
等と表わすことかできる。
またｘは負数であってもかまわない。目盛０の位置から左に１ｍ離れた位置は−１の位置、左に２ｍ離れた位置は目盛−２の位置と呼べばよく、既に考察してきたように
Ｉ-1＝ａ-1Ｉ0、Ｉ-2＝ａ-2Ｉ0、…、Ｉ-y＝ａ-yＩ0 (ｙ＞０)
と表わすことができる。
特に０の位置では０の位置より零ｍ進んだ位置と考えれぱよいから、そこを通る光の量については、Ｉ0＝ａ0Ｉ0が成り立つ。
従ってａ0＝１となる。
このようにして、ｘがあらゆる実数の値をとるとき、Ｉx＝ａxＩ0の関係が成り立つ。では以上のようにして定義されたａxという数はどのような性質を持つ数なのであろうか。
次に、ｘ＞０として、-ｘの位置を通る光の量は０の位置を通る光の量の何倍なのかに着目してみよう。まずＩ-x＝ａ-xＩ0である。
また観測者が−ｘの位置から光源に向ってｘｍ進むと０の位量に達するのであるから、Ｉ-x×ａx＝Ｉ0となる。
故にＩ-x＝Ｉ0/ａx。従って ａ-x＝１/ａx が導かれる。
Ｉ-1はＩ0の１/ａ倍、Ｉ-2はＩ-1の１/ａ倍、……
となっているので、つまり０から負の方向に１ｍ進むごとに光の量は１/ａ倍になってゆく。
１ｍ進むごとに光の量はａ倍になってゆくとき、ｘｍ進むならぱａx倍となるので、この考えを進めてゆくと、１ｍ進むごとに１/ａ倍となる光の量は、ｘｍ進むならば (１/ａ)x 倍になるということになる。
よって Ｉ-x＝(１/ａ)xＩ0 となる。以上より
(１/ａ)x＝ａ-x＝１/ａx
が成り立つ。
Ｉ1/n＝ａ1/nＩ0 のときはｙ＝ａ1/n とおいて、このｙについて考えてみよう。
ただし、ｎは自然数である。これは１/ｎ進むごとにｙ倍となることをくり返しているから次の関係が成り立つ。
Ｉ1/n＝ｙＩ0、Ｉ2/n＝ｙＩ1/n＝ｙ2Ｉ0、…
より
Ｉ1＝ｙＩ(n-1)/n＝ｙnＩ0
となる。ところで、Ｉ1＝ａＩ0 より ｙn＝ａ、ｙ＝n√ａ
従って
ａ1/n＝n√ａ
が成り立つ。
次にｍも自然数として、ｍの位置での光の量はＩm＝ａmＩ0 となっている。これをｎ段階に分割して考えてみよう。
Ｉm/n＝ａm/nＩ0であるがｙ＝ａm/nとおいて、このｙについて考えよう。
ｍ/ｎだけ進むごとにｙ倍になることをｎ回くり返してｍの位置に達している。従って
Ｉm/n＝ｙＩ0、Ｉ2m/n＝ｙＩm/n＝ｙ2Ｉ0、……、Ｉm＝ｙＩ(n-1)m/n＝ｙnＩ0
またＩm＝ａmＩ0であるからｙn＝ａmとなる。
故にｙ＝n√ａm が成り立つ。
以上ｘが有理数の場合のａxの意味について述べてきた。ではｘが無理数の場合はどのような意味を持つのだろうか。
３√2と５πを例として考察してみよう。
√２＝１.４１４２１３５・・・・であるから
１.４１４＜√２＜１.４１５、１.４１４２＜√２＜１.１４３・・・
となり√２はこれにいくらでも近い有理数で範囲を限定することができる。従って
３1.4＜３√2＜３1.5、３1.41＜３√2＜３1.42、３1.414く３√2＜３1.415・・・
と３√2はどんどんある値に近づく。この値を３√2と呼ぶのである。
また次のような考え方でもよい。π＝３.１４１５９２６５・・・であるから
３.１、３.１４、３.１４１、３.１４１５、３.１４１５９・・・
という列は次第にπに近づいてゆく。そこで
５3.1、５3.14、５3.141、５3.1415、５3.14159・・・
という列が次第に近づいてゆく数を５πと呼ぶのである。
このようにして、ａxはｘが有理数である場合をもとにしてｘが無理数の場合にも説明できるので、ｘが実数の場合のａxの意味が明らかになったといってよいのである。
各点を通過している光の量に着目すると、
Ｉx1＝ａx1Ｉ0、Ｉx1+x2＝ａx2Ｉx1
より
Ｉx1+x2＝ａx2(ａx1Ｉ0)＝ａx1×ａx20
となる。また
Ｉx1+x2＝ａx1+x2Ｉ0
なので
ａx1×ａx2＝ａx1+x2
が得られる。
次にＩx1＝ｂＩ0とする。このときＩx1＝ａx1Ｉ0であるからｂ＝ａx1である。０から目盛りｘ1までの距離を新しく単位距離と見なしたとき、０から目盛りｘ1ｘ2までの距離はこの新単位距離のｘ2倍となっている。
さて観測者が０を出発して光源に向って距離ｘ1ｘ2だけ進んだ状況について考えてみよう。
これは観測者が新単位距離を進むごとに光の量はｂ倍になりつつ、その新単位距離のｘ2倍の距離を進んでいるのである。
目盛りｘ1ｘ2を通る光の量はＩx1x2＝ｂx2Ｉ0である。またＩx1x2＝ａx1x2Ｉ0であるからｂx2＝ａx1x2となる。ｂ＝ａx1より
(ａx1)x2＝ａx1x2
となる。
次に０から光に向って１ｍ進むと、光の量がａｂ倍となる媒質中を通る光については、
Ｉ1＝ａｂＩ0
が成り立つ。
このＩ1については、次のように段階に分けて考えることができる。まず０から光に向って１ｍ進むごとに光の量がａ倍となる媒質の中を１ｍ進む。このときの光の量をＩ'1とするとＩ'1＝ａＩ0である。ひき続いて光に向って１ｍ進むごとに光の量がｂ倍になる媒質の中を１ｍ進む。このときの面を通る光の量をＩ''1とするとＩ''1＝ｂＩ'1となる。
よって
Ｉ''1＝ｂＩ'1＝ｂ(ａＩ0)＝ａｂＩ0
となりＩ''1＝Ｉ1がいえる。
つまり光の量に着目する時、１ｍ進むごとにａｂ倍となる媒質の中を１ｍ進むということは、１ｍ進むごとにａ倍となる媒質の中を１ｍ進み、引き続いて１ｍ進むごとにｂ倍となる媒質の中を１ｍ進むということと同じことになるのである。この考えをつきつめてゆくと、０から光に向って１ｍ進むごとにａｂ倍となる媒質の中をｘｍ進んだときの光の量は、０からまず光に向って１ｍ進むごとにａ倍となる媒質の中をｘｍ進み、ひき続いて光に向って１ｍ進むとｂ倍となる媒質の中をｘｍ進んだときの光の量と同じになるのである。
まず１ｍ進むごとにａｂ倍となる媒質中をｘｍ進むとＩx＝(ａｂ)xＩ0となる。
０からある媒質中を光に向ってｘｍ進んだときの光の量は１ｍ進むごとにａ倍になるとするとＩ'x＝ａxＩ0で得られる。続いてすぐ１ｍ進むごとにｂ倍となる媒質中をｘｍ進んで光の量はＩ''xとなったとすれば、Ｉ''x＝ｂxＩ'xとなる。
従って
Ｉ''x＝ｂxＩ'x＝ｂx(ａxＩ0)＝ａxｂxＩ0
となる。既に考察してきたようにＩx＝Ｉ''xであるから
(ａｂ)x＝ａxｂx
が成り立つ。
以上のことから指数法則といわれる計算公式は実数の範囲で成り立つといってよいのである。
指数関数ｙ＝ａxにおいては、ｘのあらゆる実数値に対応してａxの値が存在するということについての理解が大切であるが、これは光のモデルを思い起こすことによってすぐに納得できることであろう。
またｘ1ｘ2がどれ程接近した実数値であっても、ａ＞１の場合にｘ1＜ｘ2ならぱａx1＜ａx2である。
これは指数関数の連続性に対する理解に大いに役立つものである。
また（図２）のようなモデルは、少し視点を変えれば対数関数の性質を導いてゆくことにも活用されるのである。
例として、０から光に向って１ｍ進むごとにａ倍となる媒質中を進む光に対して、０からどれだけ進むと光の量は２倍となるのかについて考えよう。
これはＩx＝２Ｉ0でＩx＝ａxＩ0であるから、ａx＝２となるｘを求めることになる。ここからｌｏｇa２＝ｘを定義するのは自然の成り行きであろう。
対数の諸性質も光のモデルを念頭におきながら導いてゆくことができる。
また指数関数、対数開数の微積分についても〈図２）のモデルを使って考察することができる。これらのことについては別な機会で述べてみたいと思う。