量−写像−数

　これらについて考えるとき"数の理論"とは完成された理論であり、新しい意味での"数の理論"などは必要でもないし、また新しい理論を創り上げる余地もないかのように見えてくる。

　ところで、２０世紀中頃からブルバキと名のる数学者のグループが精力的に数学の諸分野にわたっての著作を発表し続けるようになった。彼等の膨大な著作集"数学原論"の中には、集合、写像から始まって数の理論が展開されている。その中で自然数論の部分だけでも、ブルバキと高木貞治の著作には大きな違いがある。専門家の解説を読むとブルバキの自然数論は基数論的自然数論とよばれ、高木貞治著での自然数論は序数論的自然数論とよばれるもので二つの自然数論を代表するものであるという。このように数の理論の中でも、それぞれの違いと特徴を持った理論があると言ってよいのだが、これらの超有名な理論はいずれも非常に抽象的であり、かつ現実の量との関連は捨象された中で創り上げられている。

　１９７０年代に入ってから量と数との関連を重視し、量の公理を前提として量空間における変換として数の理論を創り上げる――このような理論が発表された。

　南雲道夫博士によって提唱された理論と、田村二郎氏による量と数の理論とである。これらの理論は物理学や化学その他の諸科学で明らかにされたさまざまな量についての性質をふまえて数の理論を創り上げてゆこうという一致した考えのもとに展開されている。

　田村理論ではまず集合と写像について基本的な概念を確認することから始められている。集合についての包含関係とか、要素と集合の関係、部分集合、補集合、等しい集合等の基本的性質は既知のものとして考えている。次に写像、等しい写像、写像の和、写像の合成、写像の合成においては結合則は成り立つが、交換則はは成り立たない、逆写像はどのような場合に存在するか、写像において原像と像の存在する集合が同じ場合に写像を変換と呼ぶこと、等を確認しておきたい。

　これらはすべて"数"とは関係のない概念なので、あらかじめ集合や写像について議論した結果をふまえて"数"の理論を作ったとしてもいわゆる循環論法におちいるおそれはないのである。われわれの日常生活の中ではさまざまな量が現れている。また物理学等の経験科学のほとんどはそれぞれ独自の量を取り扱っている。

　そこで量について考察しつつ"数"の理論を創り上げようとするとき種々の困難がつきまとうことになる。この困難点をのりこえながら数の理論を展開してゆくためには、量は経験諸科学が明らかにしたものだけを考察してゆくことにすればよい。そしてその量の基本性質を要約し、量の概念を明確に定義してから、これに基づいて厳密な理論を展開してゆくとよいのである。

　そこであらゆる長さを全部集めることを考えてみよう。ここに１種の集合ができるのでこれをＥと表わすことにしよう。集合Eの元は"長さ"であるがこれは無数に存在する。これらをＡ、Ｂ、Ｃ、・・・等と表わすことにしよう。（Ａ、Ｂ、Ｃ・・・という長さはメジャーで測定されている必要はない。）理論の前提としての"長さ"とよばれる量の基本性質を明らかにしておこう。田村理論では次の五つの性質を"長さの公理"として設定している。

　　公理�T　（長さの大小に関する公理）
　　公理�U　（長さの加法に開する公理）
　　公理�V　（長さの等分に関する公理）
　　公理�W　（アルキメデスの原理とよばれる公理）
　　公理�X　（長さの連続性に関する公理）

＜公理１＞
　（ｉ）Ａ，Ｂ∈Ｅ ならば Ａ＜Ｂ、Ａ＝Ｂ、Ａ＞Ｂ のうち、一つだけ成り立つ。
　（�A）Ａ＜Ｂ、Ｂ＜Ｃ ならば Ａ＜Ｃである。

　長さＡの一端に長さＢの一端を重ならないようにつないで一つの長さを作る。これを２つの長さＡとＢの和といいＡ＋Ｂと表わす。

＜公理�U＞Ａ、Ｂ∈Ｅ ならばＡにＢを加えることができて、その結果としてＡ＋Ｂ∈Ｅが定まる。
　Ａ、Ｂ、Ｃ∈Ｅに対して
　　（�@）Ａ＋Ｂ＝Ｂ＋Ａ
　　（�A）（Ａ＋Ｂ）＋Ｃ＝Ａ＋（Ｂ＋Ｃ）
　　（�B）Ａ＋Ｂ＞Ａ が常に成り立つ。また
　　（�C）Ａ＜ＢならぱＡ＋Ｕ＝ＢとなるようなＵ∈Ｅがただ一つ存在する。
　　　　（�C）から定まるＵをＢとＡの差といい、Ｂ−Ａで表わす。
　　　　　このとき（Ｂ−Ａ）＋Ａ＝Ｂ、（Ｂ＋Ａ）−Ａ＝Ｂが成り立つ

　さて＜公理Ｉ＞〜＜公理�X＞の基本性質を持つ量は長さだけでなく、面積、体積、時間、重さ、熱量、等がある。このような量をユークリッド式量といい、そのときの集合Ｅをユークリッド式量空間とよぶ。

　ではユークリッド式量空間Ｅにおける変換について考えてみよう。

　Ａ∈Ｅのとき　Ａ＋Ａ∈Ｅ、従ってＡ＋Ａ＋Ａ∈Ｅ・・・である。
　　ｆ；Ａ　→　Ａ＋Ａ　　　（ｆ（Ａ）＝Ａ＋Ａ）
　　ｇ；Ａ　→　Ａ＋Ａ＋Ａ　（ｇ（Ａ）＝Ａ＋Ａ＋Ａ）
　　　　　・・・・・・
のような変換の集合について考えよう。ｆ（Ａ）＝Ａ＋Ａなる変換ｆを今後は２と表わし、ｇ（Ａ）＝Ａ＋Ａ＋Ａなる変換ｇを３と表わすことにしよう。よって２（Ａ）＝Ａ＋Ａ、３（Ａ）＝Ａ＋Ａ＋Ａ　となるが、このような２、３、・・・を倍変換とよび、倍変換による像のＡ＋Ａ、Ａ＋Ａ＋Ａ・・・等を２Ａ、３Ａ、・・・等と表わす。従ってｆ（Ａ）＝２（Ａ）＝２Ａ、ｇ（Ａ）＝３（Ａ）＝３Ａ・・・である。このようにして一般に倍変換　ｎ；Ａ　→　Ａ＋Ａ＋Ａ＋…＋Ａ　が定められ、ｎ（Ａ）＝ｎＡ　と表わすことができるのである。

　また恒等変換ｅ；Ａ　→　Ａ、（ｅ（Ａ）＝Ａ）に対して、このｅを１と表わす。つまり１（Ａ）＝Ａである。以上のようにして定められた倍変換１、２、３、・・・、ｎ、・・・を自然数と呼ぶのである。

　このように定義された自然数についてその性質の一端を調べてみよう。１（Ａ）＝Ａ、２（Ａ）＝２Ａ＝Ａ＋Ａ、であるから、１；Ａ　→　Ａ、２；Ａ　→　Ａ＋Ａである。

　従って１＋２；　Ａ　→　Ａ＋（Ａ＋Ａ）、また２＋１；Ａ　→　（Ａ＋Ａ）＋Ａ。よつて変換１＋２と変換２＋１とは等しい。一般にａ、ｂを変換としての自然数とするときａ＋ｂ＝ｂ＋ａである。次に２；Ａ　→　Ａ＋Ａと３；Ａ　→　Ａ＋Ａ＋Ａとの合成について考えてみよう。２（Ａ）＝Ａ＋Ａ＝Ｂとする。

　次に３（Ｂ）＝Ｂ＋Ｂ＋Ｂ＝（Ａ＋Ａ）＋（Ａ＋Ａ）＋（Ａ＋Ａ）＝６Ａとなる。よつて３（Ｂ）＝３（２（Ａ））＝３２（Ａ）＝６Ａ、また３（Ａ）＝Ａ＋Ａ＋Ａ＝Ｃとする。

　次に２（Ｃ）＝Ｃ＋Ｃ＝（Ａ＋Ａ＋Ａ）＋（Ａ＋Ａ＋Ａ）＝６Ａ、∴２（Ｃ）＝２（３（Ａ））＝２３（Ａ）＝６Ａ。従って変換３２と２３とは等しい。このようにして、合成変換ａｂとｂａとが等しい変換であることがわかる。写像一般としてはａｂ≠ｂａであるが自然数としての変換はａｂ＝ｂ ａが成り立つ。公理�V、公理�W、より有理数としての変換、更には公理�Xより実数としての倍変換を導き有理数、実数の諸性質を導くことができるが詳細は次の機会に見てゆくこととしたい。

　再び長さについて考えてみよう。空間の中の２点Ｐ、ＱについてはＰとＱが異なる点であればＰＱ間の距離が定まる。ところでＰ、Ｑが一致した場合は距離はないのだか，これも広い意味での"長さ"と考えて、ゼロの長さ（ゼロ量）と名づけ０と表わすことにしよう。ユークリッド式量空間Ｅにはこのような０は存在しないのでＥに０をつけ加えた拡大量空間をとしよう。そしてＡ∈としてＡ→０となる変換を数０と名づける。

　つまり０；Ａ　→　０（０（Ａ）∈０）である。

　またｎ；０　→　０＋０＋・・・＋０であるからｎ（０）＝ｎ０＝０である。

　今 の方向を△で表わし、 の長さはＡとする。このとき ＝（△、Ａ）と書く。点Ｐから点Ｑへの移動というときＰ、Ｑが異なるときは で示すことができるが、Ｐ、Ｑが一致する場合は位置を変えないことを示すか、運動の結果としてもとの位置にもどることを示すのでこれも一つの移動とみなし"ゼロ移動"と呼び で表わすことにしよう。一つの方向△に対しては必ずその逆の方向が考えられる。これを△'と表わすことにしよう。また移動 と逆の方向をもち、同じ大きさをもつ移動をの逆移動とよびで表わす。このとき ＝（△，Ａ），＝（△’，Ａ）である。このような移動という量は、ユークリッド式量とは異なる性質を持っている。それは大きさのほかに方向をもつ量だからであるが、著しい特微は、たがいに逆の方向が対になって現れ、大きさが等しく逆の方向をもつ二量はたがいに消し合うことにある。田村二郎氏はこのような移動を対称量と名づけ、移動の集合を対称量空間とよんでいる。対称量空間をなすものは他にも、平面図形の回転、時刻の変化、速度、加速度、力、電場、磁場、等があげられよう。これらの、どの対称量空間にも共通の基本性質を要約すれぱ、それは対称量空間の公理として設定してよいであろう。

《対称量空間の公理》

＜公理Ａ＞　対称量空間Ｓに属する任意の二つの量 ， から和 ＋∈Ｓがただ一つ定まる。
また、、、 に対して、
(�@)　＋＝＋　　（�A）（＋）＋＝＋（＋）
がつねに成り立つ。更にゼロ量とよばれる があって、どんな ∈Ｓに対しても（�B）＋＝ が成り立つ。

＜公理Ｂ＞対称量空間Ｓからゼロ量を除いた残りは、方向集合Ｄと一つのユークリッド式量空間Ｅとの直積Ｄ×Ｅ＝｛（△、Ａ）｜△∈Ｄ、Ａ∈Ｅ｝によって表わされる。ここで同方向の二量については
（�C）　（△、Ａ）＋（△、Ｂ）＝（△、Ａ＋Ｂ）が成り立つ。
また任意の方向△∈Ｄに対して、△の逆方向△'∈Ｄが定まり
（�D）　（△，Ａ）＋（△'，Ａ）＝ がつねに成り立つ。

　では一つの直線上で行なわれる移動を考えてその集合をＳとしよう。この場合の移動には、方向は二つしかない。そしてたがいに逆である。この場合の方向集合をＤとするとＤ＝｛△₁，△₂｝、△₁'＝△₂，かつ△'₂＝△₁である。このようなＳをｌ次元対称量空間と呼ぶ。１次元対称量空間Ｓにおける変換について考えてみよう。∈Ｓ とするとき 　→　　のような変換を−１と定義する。

　つまり（−１）（ ）＝ 　である。このとき　（−１） ＝（ ）'＝ となる。

　よって（−１）（）＝（−１）（−１）（）＝ ，１（）＝ あるから（−１）（−１）＝１となる。つまり逆変換をくり返すと恒等変換となることから（−１）（−１）＝１が示されたのである。対称量空間における変換によって負数の性質を導き出すことができる。変換の和は数の加法ヘ、変換の合成は数の乗法へと考えてゆくのである。

　そして回転変換θにより方向△₁が方向△₂に移されるとき△₂＝△₁＋θと表わす。或る平面上の方向の集合をＤとするとき、次のことがいえる。

（�@）回転θによるＤの変換△→△＋θは全単射である。
（�A）回転θ₁，θ₂による変検を合成すれぱ回転θ₁＋θ₂による変換となる。
　　つまり〈△＋θ₁〉＋θ₂＝△＋（θ₁＋θ₂）である。
（�B）Ｄの恒等変換△→△は回転０、±２π、±４π，・・・　によってひき起こされる。
（�C）任意の△₁，△₂∈Ｄに対し、△₁＋θ＝△₂となるθが存在する。
（ｖ）回転θ＝πは方向の対称変換をひき起こす。△＋π＝△'

　以上の（ｉ）〜（ｖ）は平面の基本性質として認めてもよいし、平面の方向集合を特徴づけるものといってもよい。対称量空問Ｓの方向集合がこの性質をもつときＳを２次元対称量空間とよぶ。そして平　面における回転θは量空間Ｓの変換をひき起こし、θ；　→　 、また ≠のとき ＝（△，Ａ）とするとθ；（△，Ａ）→（△＋θ，Ａ）となる。

　（�@）ｉ²＝−１となる虚数単位ｉとは何か。
　（�A）ｂとｉの積ｂｉとは何か。
　（�B）ａとｂｉとの和とか何か。

　以上を量空間における変換として考えていってみよう。

　２次元対称量の代表として平面ベグトルをとり、その全体をＳとする。今、∈Ｓ で＝（△，Ａ）とする。 にπ/２の回転変換を施すと ＝（△＋π/２，Ａ）となる。そこで次のように定義する。

　平面ベクトルの変換 ；→ を虚数単位といいｉで表わす。従ってｉ（）＝＝ｉ となる。従ってｉとは"平面ベクトルを９０°回転する"ことであると考えてよい。次にｂｉとは二つの変換ｉとｂとの合成であり、ａ＋ｂｉとは二つの倍変換ａとｂｉとの和である。

　では変換ｉの重要性質を導いてみよう。

　 ≠のとき ＝（△，Ａ）とする。このときｉとｉの合成変換を考えてみよう。
ｉｉ（）＝ｉ（ｉ（））＝ｉ（）＝（△＋π/２＋π/２，Ａ）＝（△＋π，Ａ）＝（△'，Ａ）＝＝（−１）（）　　∴ｉｉ＝−１となる。２次元対称量変間における変換によって複素数ａ＋ｂｉに関する諸性質を導くことができるが、これは別の機会で取り扱うことにしよう。