わかる数学をめざして

【１】はじめに

【２】ディヴァイスいろいろ

1. 双方向ブラック・ボックス

   　関数の本質は集合から集合への対応、あるいは変数から変数への対応であり、必然的に対応のさせ方に着目してゆくことになる。そこで関数ｆのもつ働きや、対応のさせ方が容易に思い浮かべられるようなシェーマを工夫することが必要である。そのシェーマとして適当と考えられるのがブラック・ボックスである。
   　ブラックボックスとは内部のからくりがどうなっているのかは別問題として、とにかく何らかの仕掛けによって一定の操作を行う装置のことをいう。入ってくるもの（入力）に加工を施したたもの（出力）を外部に送り出す働きをもっている。入力ｘがｆの操作を受けて加工されてｙとなり、それが出力となって出てくるとき式では、ｆ(ｘ)＝ｙと表す。このようなことを教具としてのブラック・ボックスを利用すると楽しみながらも深く理解することができる。ところである関数ｆに対して、ｆと逆の操作を行う関数をｆの逆関数と呼びｆ^-1と表している。これはブラック・ボックスの入力と出力を逆転して事えればいいのである。入力ｘがｆによって出力ｙとなるとき、このｙを新しい入力として装置の中を逆送させ、したがって装置も逆のｆ^-1という働きをしてｘが出力として戻って出てくるという場合についてきえてみよう。これはｆ(ｘ)＝ｙであればｘ＝ｆ^-1(ｙ)となることを示している。以上のことを教具としての双方向ブラツク・ボックスを利用して容易に理解することが出来る。ｆ^-1はｆが１対１対応の場合のみ存在するが、このことも双方向ブラック・ボックスを用いて面白く示すことが出来る。

   　

2. 空間座標モデル

   　空間座標や空間ベクトルを説明する際にまずぶつかる困難な点がある。その最大の原因は２次元の黒板の上に３次元のものを書き表そうとするところにある。学習者にとっては２次元の平面上に書き表された空間座標や空間ベクトルの図を見ても、その図を通して空間への認識を深めてゆくことが決して用意ではないのである。教科書などの空間座標を示す図も、現実に空間座標のモデルを観察した後ではイメージの定着も早いのである。私は最近空間座標のモデルを出来るだけ活用して、授業を展開することにしている。またこのモデルを使って、空間ベクトルの成分に関する諸公式も説明してしまうことにしているのである。

   　

3. 変動する最大値、最小値

   　２次関数の最大値、最小値の問題で入試等でよく出題され、教師も説明するのに苦労するというものがある。その代表的なものは次の(イ)(ロ)(ハ)のような問題である。

   (イ)二次関数ｙ＝ｘ²−４ｘ＋５の区間ａ≦ｘ≦ｘ＋２ における最大値Ｍ，最小値ｍをａの式で表せ。
   (ロ)区間０≦っｘ≦２における関数ｙ＝２ｘ²−４ａｘ＋１の最大値Ｍ，最小値ｍをもとめよ。
   (ハ)区間０≦ｘ≦ａにおけるｙ＝ｘ²−４ｘ＋３の最大値Ｍ，最小値ｍを求めよ。 　これらの問題に共通していることは文字ａに関して場合分けが必要であり、説明する際には多くのグラフを書いたりすることになるが、その場合分けが働きとして捉え難くなかなか理解しづらいということである。この難点を少しでも軽減させたいと、いくつかの教具を試作してみたが、私はこれを「紙芝居方式Ｍ、ｍ説明器」と呼んでいる。
   　

   　

4. 転がる円の軌跡

   　一つの円が定直線に接しながら、すべることなく回転するとき、その円の周上の定点が描く曲線をサイクロイドという。このような記述とともに図の左の円が右の円まで回転してきたとき円周上の点Ｏは図の点Ｐの位置まで移動していることが説明される。ところがこれはなかなかイメージすることが困難で、ましてサイクロイドという曲線が図のようになるということを実際に掻いてみることもなしに過ごしてしまう場合が多いのである。
   　コンピューターでは転がる円とともに円周上の点がどのように動いてゆくかを示すことが出来るが、これを教具で実行するとにより身近な感じで興味深く取り扱うことが出来るのである。

   　

5. 三角関数は円関数から

   　単位円周上の点Pに関して、Pと原点Ｏを通る半直線がｘ柚の正方向となす角をθとする。このとき点Ｐのｘ座標をcosθ，ｙ座標をsinθと表し、円関数と呼んでいる。この円関数から出発すると三角関数の諸性質を合理的に導くことができる。そこでこの円関数をごく身近に感じられるような教具を作ると大変都合がよいのであるが、それはどのようなものであればよいのであろうか。
   　円周上の回転運動によって位置が変わってゆくことをイメージすることができるものとして観覧車がある。観覧車は円関数をイメージするためのモデルとして大変優れた面をもっているが、唯一の難点は負の量を連想することができないことであろう。この優れた面を最大限に生かし、かつ難点を解消するために私は回転半径が１ドリームという長さの潜水観覧車なるものを考え、その模型としての歓教具を作製した。

   　

【３】‘数楽'のためのストーリー

1. ジェラシー大作戦

   　動点が複数個の場合の軌跡の方程式は、なかなか説明するのに苦労がつきまとう。ゴムひもを利用した教具を利用するのもーつの方法であろう。私は軌跡を描くそれぞれの点に性格をつけ、ある種のストーリーをもとにして、点と点の関連を考えさせることにしている。それは次のようなものである。

   　ある高校にアイドルちゃんと呼ばれる女の子がいる。彼女は容姿もプロポーションも抜群で、しかも努力家である。彼女は陸上部に所属し、放裸後はいつも陸上グランドで走る練習をしている。一方あこがれ君は同じ学校でのサッカー部のゴールキーパーである。アイドルちやんに熱烈に恋焦がれており、放裸後はゴールキーパーの位置から走っている彼女にいつもラブサインを送りつづけている。このことを知ったジェラシー君の心境は穏やかではない。彼はあこがれ君の意図を何とか妨害しなければと固く決意し、観察を続けた結果次のことに気がついた。アイドルちゃんとあこがれ君を結ぶ線分を２:１に内分する点に彼が立つと彼にさえぎられてあこがれ君からはアイドルちやんが見えなくなってしまうのである。ジェラシー君の作戦が成功するためには、彼がどのような動きをしたらよいだろうか。アイドルちゃんは中心が原点、半径が３の円周上を動くものとし、あこがれ君は定点(６，０)として、ジェラシー君の描く軌跡の方程式を求めよ。

2. 光の流れとともに

   　水平でまっすぐに伸びているトンネルがある。このトンネルの中には、はるか彼方にある光源からの光が常に通過している。またこのトンネル内の路面には位置を示すための座標がしるされてある。トンネル内での路面に垂直な断面を通る光の量はそれぞれの断面ごとに常に一定である。このトンネル内を通過する光の量に関しては次のような重要な性質があるという。ある位置からトンネル内を光源に向けて単位距離だけ進む位置では、そこを通る光の量は、はじめの位置を進む光の量のａ倍になっている。逆に光源から単位距離だけ遠ざかると光の量は1/ａ倍になるという。このとき光源に向けて距離ｘだけ進む場合は光の量はａ^x倍になるというように決めると、このようなａ^xという数はどのような性質を持つ数なのであろうか。以上のことを追求してゆくことにより実数ｘに対しての指教関数の性質を導いてゆくことができる。

3. ウッソーと言わずになんて打ち消す？

   　ある男女共学校の中で次のような発言をしたらどんなことになるであろうか。

   「すべてのこの学校の生徒は男子である。」

   　おそらく女子生徒から一斉にブーイングが起こることであろう。では札幌市内での有名女子大を例にあげて「あるＦ女子大生は男子である。」とか「何人かのＦ女子大生は男子である。」と言えばどちらも誤りである。あなたはこれらの発言をどのように訂正しますか？　ウッソーと言っても相手は受け付けてくれないと思いますよ・・。

4. 潜水観覧車を作ろう

   　あなたは観覧車に乗ってみて、物足りない気持ちになったことはありませんか？　見えるのは空と眼下に広がる地上の景色だけなのですから。あなたは観覧車に乗って今までのような景色だけでなく、海中の景色も見たいと思いませんか。そうです、海抜０ﾒｰﾄﾙの回転軸を中心とした潜水観覧車を作るとよいのです。
   　この観覧車の回転半径は１ドリームの長さで、１周に要する時間は１２分であるという。地上からの高さが０.６ドリームになるのは乗車してから何分後になるか、また水面からの深さが０.５ドリームになるのは何分後になるか。
   　(注：１ドリームは約３０ﾒｰﾄﾙである。)

5. パスカルさんに相談したところ・・・

   　技量の伯仲しているＡとＢ２人が先に６勝したほうが掛け金６４ビアストるの全額を得るというゲームをした。Ａが５勝、Ｂが３勝したところで、ある事情のためにゲームは中止になってしまった。残りの試合を後日改めて行うことも不可能であるという。ＡとＢには掛け金をどのように分記してやればよいのであろうか。途中試合の勝敗を比べて５:３に分記すればよいという意見が出たが、果たしてこれでよいのだろうか。みなで相談した結果パスカルさんの意見を聞いてみることになったが、はたして彼はどのように回答したのでし上うか。

【４】ゲーム、実験、工作・・・etc

【５】今後にむけて