方程式s・f(x,y)+t・g(x,y)=0の表す図形

１．f(x,y)=0,g(x,y)=0がともに直線の場合

1. f(x,y)=0,g(x,y)=0が交わる２直線の場合

   lは、l₁とl₂の交点をとおる直線を表し、その方向は次のようになっている。
   　　l₁,l₂,lの法線ベクトルをそれぞれ,,とすると
   　　=s+t
   である。

   ［具体例１−(1)］
   　　　l₁：f(x,y)=2x-y-1=0
   　　　l₂：g(x,y)=x+y-1=0
   　に対して
   　　　l：f(x,y)+k・g(x,y)=0
   　を図示する。
   

2. f(x,y)=0,g(x,y)=0が平行な２直線の場合

   　lはl₁,l₂に平行な直線を表し、a₁=a₂,b₁=b₂としておけば２直線l₁,l₂からの距離の比がt:sになるような位置にある。

   ［具体例１−(2)］
   　　　l₁：f(x,y)=2x-y-1=0
   　　　l₂：g(x,y)=2x-y+2=0
   　に対して
   　　　l：f(x,y)+k・g(x,y)=0
   　を図示する。
   

２．f(x,y)=0,g(x,y)=0がともに円の場合

1. f(x,y)=0,g(x,y)=0が交わる２円の場合

   s+t≠0のとき
   

   Cは、２つの円C₁,C₂の交点をとおる円であり、その中心は次のようになっている。
   ２つの円C₁,C₂の中心をそれぞれF,Gとすると、円Cの中心は、線分FGをt：sに分ける点になっている。
   (∵)Cを式変形すれば
   　　
   が得られる。
   　だからCの表す図形は線分FGをt：sに分ける点を中心とする円、１点、虚円t（表す図形なし）のいずれかである。一方２つの円 C₁,C₂の交点をとおることから少なくとも２つの点をとおる。よって円を表す。

   s+t=0のとき
   

   　Cは、２つの円の交点をとおる直線を表すが、(-1)：1に分ける点を線分FG上の無限遠点と考えれば、半径が無限に大きい円の一部が見えているとみなすこともできる。
   　そうすると、s,tの値によって場合分けせず、統一的に考えることができる。
   　Cは、２つの円C₁,C₂の交点をとおる円であり、)その中心は線分FGをt：sに分ける点である。ただし、２つの円C₁,C₂の中心をそれぞれF,Gとする。

   ［具体例２−(1)］
   　　　C₁：f(x,y)=x²+y²-4=0
   　　　C₂：g(x,y)=(x-3)²+y²-3=0
   　に対して
   　　　C：f(x,y)+k・g(x,y)=0
   　を考える。
   

2. f(x,y)=0,g(x,y)=0が接する２円の場合

   　(1)より、次のようになることは明らかであろう。
   　Cはもとの２円C₁,C₂の接点をとおる円を表し、その中心は(1)と同様である。
   　とくにCの中心がC₁,C₂の接点と一致してしまうとき、Cは１点(半径ゼロの円)になる。またs+t=0のとき、直線(無限に大きい半径をもつ円)になる。

   ［具体例２−(2)-a］(外接)
   　　　C₁：f(x,y)=(x+1)²+y²-4=0
   　　　C₂：g(x,y)=(x-2)²+y²-1=0
   　に対して
   　　　C：f(x,y)+k・g(x,y)=0
   　を考える。
   

   ［具体例２−(2)-b］(内接)
   　　　C₁：f(x,y)=(x²+y²-4=0
   　　　C₂：g(x,y)=(x-1)²+y²-1=0
   　に対して
   　　　C：f(x,y)+k・g(x,y)=0
   　を考える。
   

3. f(x,y)=0,g(x,y)=0が共有点をもたない２円の場合
   　（ただし同心円の場合はのぞく）

   　まず次の具体例を観察してみる。
   ［具体例２−(3)］
   　　　C₁：f(x,y)=x²+y²-4=0
   　　　C₂：g(x,y)=(x-4)²+y²-3=0
   　に対して
   　　　C：f(x,y)+k・g(x,y)=0
   　を考える。
   

   観察されること

   • 円、１点、虚円つまり表す図形なしの３通りの場合がすべて現れそうだ。
   • k<0のとき、つねに円をあらわすようだ。
   • k>0のとき、kの値を0からだんだん大きくしていくとCのグラフは、
     円C₁の中で次第に小さくなっていき、やがて１点に消えてしまう。しかししばらくすると、円C₂の内部の１点に突然現れ、次第に大きくなって円C₂に近づいていく。

　なぜこのような振る舞いをするのか、以下２通りの説明を示す。

［説明１］球面の切り口とみなす方法
　（岐阜県加納高校の前田仁先生に教えていただいたアイデアです）

上の［具体例２−(3)］の場合を例にとって説明する。
２つの円C₁,C₂に対して、交わる２つの球面
　　S₁：F(x,y)=x²+y²+z²-8=0
　　S₂：G(x,y)=(x-4)²+y²+z²-7=0
および
　　S：F(x,y)+k・G(x,y)=0
を考える。
　すると、２−(1)で述べたことと同様のことがS₁,S₂, Sについても成り立つことは明らかであろう。
　だから
　Sは２つの球面S₁,S₂の共有部分をとおる球面であり、その中心は線分FGをk：1に分ける点である。ただし、２つの球面S₁,S₂の中心をそれぞれF,Gとする。

　さてこれら３つの球面S₁,S₂, Sの平面z=2による切り口を考えると、それぞれの切り口がちょうどC₁,C₂,Cに対応している。（S₁,S₂,Sにz=2を代入するとそれぞれ C₁,C₂,Cになる。） 　したがって、kの値の変化によって球面SはS₂,S₂の共有部分を含みながら変化し、それにつれて平面z=2と交わったり、接したり、離れたりする。
　これらがそれぞれCが円である場合、１点である場合、表す図形なしである場合に対応している。

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［説明２］複素数で考える

　上の［具体例２−(3)］の場合を例にとって説明する。
　２つの円の方程式
　　C₁：f(x,y)=x²+y²-4=0
　　C₂：g(x,y)=(x-4)²+y²-3=0
および
　　C：f(x,y)+k・g(x,y)=0
において変数x,yを次のように複素数におきかえる。
　　x→x+x'ｉ,y→y+y'ｉ　（x,x',y,y'は実数、ｉは虚数単位）
　C₁,C₂を連立方程式として解くと、解として
　　
を得る。これが「共有点」であり、Cはこれらの共有点を通る。
　４次元では図示が困難なので、「x'=0における切り口」（３次元）のグラフを考える。
　　x→x,　y→y+y'ｉ
をC₁に代入すると
　　x²+y²-y'²+2yy'ｉ=4
虚部をみればy=0またはy'=0であり
　　y'=0のとき、x²+y²=4　（つまり実数平面上では円）
　　y=0のとき、x²-y'²=4　（つまりxy'平面上では双曲線）
同様にして、C₂は
　　y'=0のとき、(x-4)²+y²=3　（つまり実数平面上では円）
　　y=0のとき、(x-4)²-y'²=3　（つまりxy'平面上では双曲線）
となる。

　さて、Cについても同様に計算すると
　　y'=0のとき、
　　y=0のとき)、
ここで右辺の
　　
は定数kの値によって、正・0・負と変化する。それにともなってCのグラフは、
　実数平面上（y'=0）では、円・１点・表す図形なしと変化し
　xy'平面上（y=0）では、双曲線・２直線・逆向きの双曲線
と変化する。

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