−教育現場のおける基礎研究−

行列方程式の解法と最小多項式について

１．はじめに

２．２次の正方行列のとき

Prop２−１．（Caylay-Hamiltonの定理）
　Ａに対して，Ａ²−(ａ＋ｄ)Ａ＋(ａｄ−ｂｃ)Ｅ＝Ｏ が成立する。

以後，
　　　ｆ_A(Ａ)≡Ａ²−(ａ＋ｄ)Ａ＋(ａｄ−ｂｃ)Ｅ＝Ｏ　　　（２．１）
　　　ｆ_A(ｘ)≡ｘ²−(ａ＋ｄ)ｘ＋(ａｄ−ｂｃ)
と表す。ｆ_A(ｘ)＝ｘ²−(ａ＋ｄ)ｘ＋(ａｄ−ｂｃ)＝０ の２つの解を α，βとすると
　　　ｆ_A(ｘ)＝(ｘ−α)(ｘ−β)，ｆ_A(Ａ)＝(Ａ−αＥ)(Ａ−βＥ)　　　（２．２）
ここで，解と係数の関係より，α＋β＝ａ＋ｄ，αβ＝ａｄ−ｂｃ
　　　ｆ_A(Ａ)＝Ａ²−(ａ＋ｄ)Ａ＋(ａｄ−ｂｃ)Ｅ＝(Ａ−αＥ)(Ａ−βＥ)＝Ｏ　　　（２．３）
をCaylay-Hamiltonの方程式（以下，ＣＨＥと略称）という。まとめると，

Prop２−２．Ａの固有値が，α，β⇒ＣＨＥ　ｆ_A(Ａ)＝(Ａ−αＥ)(Ａ−βＥ)＝Ｏが成立

　しかし，この逆は成立しない。（反例：Ａ＝αＥのとき）
　また，ｇ(Ａ)＝Ｏとなる任意のＡの多項式ｇ(Ａ)について，ｇ(ｘ)はｆ_A(ｘ)で割り切れるとは限らない。
（反例：Ａ＝Ｅのとき，ｆ_A(ｘ)＝(ｘ−１)²，ｇ(Ａ)≡Ａ−Ｅとおくと，ｇ(ｘ)＝ｘ−１）
　そこで，ｇ(Ａ)＝Ｏとなる任意のＡの多項式ｇ(Ａ)について，ｇ(ｘ)を割り切れる多項式を定義する。

Def２−３． （最小多項式）Ａに対して，次のようなＡの多項式φ_A(Ａ)を定義する。
　　　Ａ＝ｍＥのとき，φ_A(Ａ)≡Ａ−ｍＥ，Ａ≠ｍＥのとき，φ_A(Ａ)≡ｆ_A(Ａ)

　このφ_A(Ａ)は一意的に存在し，degφ_A≦２である。このφ_A(Ａ)をＡの最小多項式という。 （２次の正方行列については，この定義で最小多項式の存在と一意性が明らかである）

Prop２−４．ｇ(Ａ)＝Ｏ⇒ｇ(ｘ)はφ_A(ｘ)で割り切れる。

pr）
ＣＡＳＥ１：Ａ＝ｍＥのとき，φ_A”(ｘ)＝ｘ−ｍ，
　　ｇ(Ａ)＝Ｏよりｇ(ｍＥ)＝Ｏ，ｇ(ｍ)Ｅ＝Ｏ，ｇ(ｍ)＝０
　　よって，因数定理によりｇ(ｘ)はφ_A(ｘ)で割り切れる。
ＣＡＳＥ２：Ａ≠ｍＥのとき，φ_A(Ａ)≡ｆ_A(Ａ)より，degφ_A＝２
　　よって，ｇ(ｘ)＝φ_A(ｘ)ｈ(ｘ)＋ｐｘ＋ｑとおくと，
　　　ｇ(Ａ)＝φ_A(Ａ)ｈ(Ａ)＋ｐＡ＋ｑＥ
　　このとき，ｇ(Ａ)＝Ｏ,φ_A(Ａ)＝Ｏより，ｐＡ＋ｑＥ＝Ｏ
　　ここでｐ≠０とすると，Ａ＝ｍＥとなるので，ｐ＝０，さらにｑ＝０
　　よって，ｇ(ｘ)はφ_A(ｘ)で割り切れる。　　　□

Cor１． Ａの固有多項式ｆ_A(ｘ)は，φ_A(ｘ)で割り切れる。

Cor２． ｆ_A(λ)＝０⇔φ_A(λ)＝０

pr)
は，Cor１より成立
⇒について示す。Ａ＝ｍＥのとき，φ_A(ｘ)＝ｘ−ｍ，ｆ_A(ｘ)＝(ｘ−ｍ)²より成立
　　Ａ≠ｍＥのとき，φ_A(ｘ)＝ｆ_A(ｘ) より成立する。　　　□

Remark２−５． この結果，ｆ_A(ｘ)＝０とφ_A(ｘ)＝０の解は，重複度を除いて等しい。

Prop２−６．φ_A(Ａ)＝(Ａ−αＥ)(Ａ−βＥ)＝Ｏ ⇒ Ａの固有値は，α，βつまり，Ａは，α，βを固有値とする行列である。

pr) Ａの固有値は，Prop２−４．のCor２．より，α，βであるが，degφ_A＝２よりＡは，α，βを固有値とする行列である。　　　□

以上で準備が終了したので，本論に入る。

　２次の正方行列Ａに対して，∃¹φ_A(Ａ) かつ degφA≦２　　　☆

(１) 行列方程式 Ａ²＋ｋＡ＋ｌＥ＝Ｏ の解について
　特性方程式 ｘ²＋ｋｘ＋ｌ＝０ の２つの解をα，βとするときα＝β（重解）も含めて行列方程式
　　　(Ａ−αＥ)(Ａ−βＥ)＝Ｏ　　　（２．４）
を解けばよい。☆より
ＣＡＳＥ１：degφ_A＝１，つまり，φ_A(Ａ)＝Ａ−λＥ＝Ｏのとき，Ａ＝λＥを（２．４）に代入して，
　　　(λーα)(λーβ)Ｅ＝Ｏ　　λ＝α，β
　　　∴　Ａ＝αＥ，βＥ
ＣＡＳＥ２：degφ_A＝２のとき，φ_A(Ａ)の一意性より
　　　φ_A(Ａ)＝(Ａ−αＥ)(Ａ−βＥ)＝Ｏ　　　（２．５）
　　ここで，Ａ−αＥ≠Ｏ かつ Ａ−βＥ≠ＯであるからＡ−αＥ，Ａ−βＥは可換零因子である。
　　よって，Prop２−６．より，Ａはα，βを固有値とする行列である。
　　このＡを，以下，Ａ≡Ａ（α，β）と表す。Ａ（α，β）の具体的な構成方法については，６．で後述する。

以上を言い換えると，
　　(�@) Ａ＝αＥ，βＥ
　　(�A) trＡ＝−ｋ，detＡ＝ｌをみたす任意のＡ
となるので，冒頭の結果と一致する。

(２) ３次以上の高次方程式 ｇ(Ａ)＝Ｏ の解について
　特性方程式 ｇ(ｘ)＝０ の解をｘ＝α₁，α₂，…，α_mとおくと，重解も含めて
　　　ｇ(Ａ)＝(Ａ−α₁Ｅ)(Ａ−α₂Ｅ)…(Ａ−α_mＥ)＝Ｏ　　　☆より
ＣＡＳＥ１：degφ_A＝１のとき，Ａ＝α₁Ｅ，α₂Ｅ，…，α_mＥ
ＣＡＳＥ２：degφ_A＝２のとき，
　　　φ_A(Ａ)＝(Ａ−α_iＥ)(Ａ−α_jＥ)＝Ｏ，１≦ｉ≠ｊ≦ｍ　　　（２．６）
　　ここで，Ａ−α_iＥ，Ａ−α_jＥは，いずれも≠Ｏより可換零因子である。
　　Ａ＝Ａ（α_i，α_j）

e．g．２−７　Ａ³＝Ｅを解くと，(Ａ−Ｅ)(Ａ−ωＥ)(Ａ−ω²Ｅ)＝Ｏ より
　　　Ａ＝Ｅ，ωＥ，ω²Ｅ，Ａ（１，ω），Ａ（１，ω²），Ａ（ω，ω²）

　この中で，実行列は，Ａ＝Ｅ，Ａ（ω，ω²） の２つである。
　以上のＡをｎ次正方行列に拡張するために，次の３．４．の準備をする。

３．Caylay-Hamiltonの方程式

Prop２−１．Ａの固有値が，α₁，α₂，…，α_n⇒ＣＨＥ（３．３）が成立する。つまり，
　　　ｆ_A(Ａ)＝(Ａ−α₁Ｅ)(Ａ−α₂Ｅ)…(Ａ−α_nＥ)＝Ｏ
が成立する

　しかし，この逆は成立しない。例えば，Ａ＝α₁Ｅについて，（３．３）が成立しているが，このＡの固有値はα₁（ｎ重解）である。
　そこで，Ａの固有値が，α₁，α₂，…，α_nとなるための十分条件を考察するために，次の最小多項式を導入する。

４．最小多項式

　以下，ｎ次正方行列Ａについて，この最小多項式φ_A(Ａ)の存在とその一意性を示す。

Prop４−２．（最小多項式の存在）
任意のＡについて，最小多項式φ_A(Ａ)が存在する

pr) ＣＨＥより ｆ_A(Ａ)＝Ｏ が成立しているが，これはｎ次式である。１次式　ｇ₁(Ａ)＝Ａ＋ｋ₁Ｅ＝Ｏから調べれば，高々ｎ回でｇ_k(Ａ)＝Ｏ　１≦ｋ≦ｎとなるｇ_k(Ａ)を得る。
このようなｇ_k(Ａ)の中で次数が最小のものが，φ_A(Ａ)である。　　　□

Prop４−３．（最小多項式の一意性）
　ｇ(Ａ)＝Ｏとなる任意の多項式ｇ(Ａ)に対して，ｇ(ｘ)はφ_A(ｘ)で割り切れる。

pr) ｇ(ｘ)＝φ_A(ｘ)ｈ(ｘ)＋ｒ(ｘ)，０≦degｒ(ｘ)＜degφ_A(ｘ)とおくと，
　　　ｇ(Ａ)＝φ_A(Ａ)ｈ(Ａ)＋ｒ(Ａ)
　ここで，ｇ(Ａ)＝Ｏ，φ_A(Ａ)＝Ｏより，ｒ(Ａ)＝Ｏ これは，φ_A(Ａ)の最小性に矛盾
　　　∴ ｒ(ｘ)＝０
　よって，ｇ(ｘ)はφ_A(ｘ)で割り切れる。 　　　□

Cor１． Ａの固有多項式ｆ_A(ｘ)は，φ_A(ｘ)で割り切れる。

Cor２． ｆ_A(λ)＝０⇔φ_A(λ)＝０

pr）は，Cor１より成立
⇒について示す。Ａの任意の固有値をλとおくと，∃ｘ≠０　ｓ．ｔ．Ａｘ＝λｘ
よって，Ａⁿｘ＝λⁿｘの成立とφ_Aの線形性より φ_A(Ａ)ｘ＝φ_A(λ)ｘ が成立。
　ここで，φ_A(Ａ)＝Ｏより φ_A(λ)ｘ＝０　　　∴　φ_A(λ)＝０　　　□

Remark． このCor２．の結果，ｆ_A(ｘ)＝０とφ_A(ｘ)＝０の解は，重複度を除いて等しい。

e．g．４−４．次の３次の各正方行列について，いずれもＣＨＥは，ｆ(ｘ)＝(ｘ−１)³＝０であるが，最小多項式は，全て異なる。具体的には，
　　　Ａ＝Ｅ：φ_A(ｘ)＝ｘ−１
　　：φ_B(ｘ)＝(ｘ−１)²，
　 　：φ_C(ｘ)＝(ｘ−１)³

　以上の最小多項式を準備すると，

Main Theorem４−５．φ_A(Ａ)＝(Ａ−α₁Ｅ)(Ａ−α₂Ｅ)…(Ａ−α_sＥ)＝Ｏ　　　（４．１）
　　　⇒ Ａは，α₁，α₂，…，α_sから重複してｎ個適当に選んだ組α₁，α₂，…，α_nを固有値とする行列である。
つまり，Ａ＝Ａ(α₁，α₂，…α_n)である。
　但し，α₁，α₂，…，α_sから重複してｎ個を選ぶとき，煩わしいので必要に応じて固有値の番号は自由に付け替えて，α₁，α₂，…，α_nとする。以後同様とする。

pr) Ａの任意の固有値をλとすると，Prop４−３．のCor２．より，１≦∃ｉ≦ｓ　s．t．　λ＝α_iであるが，φ_Aの最小性よりα₁，α₂，…α_sのすべてがＡの固有値となる。
　よって，Ａの固有値は，重複度を除いてα₁，α₂，…，α_sである。次に，ｎ次正方行列Ａは重複度を含めｎ個の固有値をもつので，ｓ≦ｎよりＡは，α₁，α₂，…，α_sから重複してｎ個適当に選んだ組α₁，α₂，…，α_nを固有値とする行列である。　　　□

　この結果を，次の（５．１）（５．２）（５．３）で用いることになる。

５．ｎ次の正方行列のとき

(１) 行列方程式 Ａ²＋ｋＡ＋ｌＥ＝Ｏ の解について
　特性方程式 ｘ²＋ｋｘ＋ｌ＝０ の２つの解をα₁，α₂とするときα₁＝α₂（重解）も含めて行列方程式
　　　(Ａ−α₁Ｅ)(Ａ−α₂Ｅ)＝Ｏ
を解けばよい。ここで，degφ_A≦２より，
ＣＡＳＥ１：degφ_A＝１のとき，∴Ａ＝α₁Ｅ，α₂Ｅ
ＣＡＳＥ２：degφ_A＝２のとき，φ_A(Ａ)の一意性より
　　　φ_A(Ａ)＝(Ａ−α₁Ｅ)(Ａ−α₂Ｅ)＝Ｏ　　　（５．１）
α₁，α₂から重複してｎ個選んで，Ａ＝Ａ（α₁，α₂，…，α_n）

(２) ３次以上かつ(ｎー１)次以下の高次方程式 ｇ(Ａ)＝Ｏ の解について
　特性方程式 ｇ(ｘ)＝０ の解をｘ＝α₁，α₂，…，α_m (１≦ｍ≦ｎ)とおくと，重解も含めて
　　　ｇ(Ａ)＝(Ａ−α₁Ｅ)(Ａ−α₂Ｅ)…(Ａ−α_mＥ)＝Ｏ
ここで，degφ_A≦ｍより，
ＣＡＳＥ１．degφ_A＝１のとき，Ａ＝α₁Ｅ，α₂Ｅ，…，α_mＥ
ＣＡＳＥ２．degφ_A＝ｒのとき，α₁，α₂，…，α_mから，ｒ個選んで
　　　φ_A(Ａ)＝(Ａ−α_i1Ｅ)(Ａ−α_i2Ｅ)…(Ａ−α_irＥ)＝Ｏ　１≦ｉ₁＜ｉ₂＜…＜ｉ_r≦ｍ　　　（５．２）
　α_i1，α_i2，…，α_ir から重複してｎ個選んで，Ａ＝Ａ（α₁，α₂，…α_n）

(３) ｎ次以上の高次方程式 ｇ(Ａ)＝Ｏ の解について
　特性方程式 ｇ(ｘ)＝０ の解を，重解も含めてｘ＝α₁，α₂，…，α_mとおくと，degφ_A≦ｎより，
ＣＡＳＥ１．degφ_A＝１のとき，Ａ＝α₁Ｅ，α₂Ｅ，…，α_mＥ
ＣＡＳＥ２．degφ_A＝ｒのとき，α₁，α₂，…，α_mからｒ個を選んで
　　φ_A(Ａ)＝(Ａ−α_i1Ｅ)(Ａ−α_i2Ｅ)…(Ａ−α_irＥ)＝Ｏ　１≦ｉ₁＜ｉ₂＜…＜ｉ_r≦ｎ　　　（５．３）
　　α_i1，α_i2，…，α_irから重複してｎ個選んで，Ａ＝Ａ（α₁，α₂，…，α_n）

e．g．５−１． Ａ²−２Ａ＋Ｅ＝Ｏをみたす３次の正方行列Ａを求めると，
　　　Ａ＝Ｅ，Ａ（１，１，１）

e．g．５−２．Ａ4＝Ｅをみたす３次の正方行列Ａを求めると，
　　　Ａ＝Ｅ，−Ｅ，ｉＥ，−ｉＥ，Ａ(α．α．β)，Ａ(α．β．β)，Ａ(α．β．γ)
　　ここで，α．β．γの組は，±１，±ｉから選んで，１６通り

６．固有値からの行列の構成

Prop６−１．任意の正則行列Ｐに対して，ＡとＰ^-1ＡＰとはその固有値が一致する。
　　つまり，Ａ〜Ｂ（相似）⇒ｆ_A(ｘ)＝ｆ_B(ｘ)，φ_A(ｘ)＝φ_B(ｘ) が成立する。

　この結果，ｘ＝α₁，α₂，…，α_n を固有値とするある行列Ａは，任意の正則行列Ｐを使って
　　　
として構成すればよいが，この構成によって，ｘ＝α₁，α₂，…，α_n を固有値とする行列がすべて求まるわけではない。反例として，，について，ｆ_A(ｘ)＝ｆ_B(ｘ)＝(ｘ−１)²であるが，Ａ〜Ｂでない。
　つまり，Ｐ^-1ＡＰによって，Ｂを構成することはできない。
　そこで，次のように対角化（標準化）を用いる。

(１) ２次の正方行列のとき

Prop６−２．α，βを固有値とする任意行列Ａ(≠ｍＥ)に対して，
　�T．α≠βのとき，∃Ｐ：正則行列 ｓ．ｔ．
　�U．α＝βのとき，∃Ｐ：正則行列 ｓ．ｔ．

pr） (この証明はいろいろなところで言い尽くされているが，特に�U．について，ｘ₁とｘ₂の連立方程式（６．１）の解き方を工夫したので，他と比べて頂きたい）

�T．について　Ａｘ₁＝αｘ₁，Ａｘ₂＝βｘ₂ とおくと，
　　　
　ここで，Ｐ≡（ｘ₁，ｘ₂）とおくとｘ₁，ｘ₂ は一次独立
［∵if そうでないとするとｘ₂＝ｋｘ₁ よりＡ(ｋｘ₁)＝β(ｋｘ₁)　　　αｋｘ₁＝βｋｘ₁
よって，α＝βとなり矛盾！
よって，Ｐは正則で，よりが成立する。

�U．について　まず，重解条件よりｆ_A(Ａ)＝φ_A(Ａ)＝(Ａ−αＥ)²＝Ｏ
　Ｐ≡（ｘ₁，ｘ₂）とおくと，
　　　⇔⇔⇔　　　（６，１）
　この（６．１）をみたす一次独立なｘ₁，ｘ₂を求めればよい。Ａ−αＥ≠Ｏ より ∃ｘ₂ ｓ．ｔ．(Ａ−αＥ)ｘ₂≠０ 　このｘ₂に対して第２式よりｘ₁＝(Ａ−αＥ)ｘ₂ とすると，このｘ₁について(Ａ−αＥ)²＝Ｏより第１式が成立し，かつこのとき，ｘ₁とｘ₂一次独立
［∵ｋ₁ｘ₁＋ｋ₂ｘ₂＝０とおくと，
　　　ｋ₁(Ａ−αＥ)ｘ₂＋ｋ₂ｘ₂＝０，ｋ₁(Ａ−αＥ)²ｘ₂＋ｋ₂(Ａ−αＥ)ｘ₂＝０
　ここで，(Ａ−αＥ)²＝Ｏ かつ (Ａ−αＥ)ｘ₂≠０ よりｋ₂＝０　さらにｋ₁(Ａ−αＥ)ｘ₂＝０よりｋ₁＝０］
　よって，Ｐ＝（ｘ₁，ｘ₂）は正則で，
　　　

Cor１．α，βを固有値とする任意行列Ａは，適当な正則行列Ｐを使って，
　　　α≠βのとき，，α＝βのとき，
とかける。

e．g．６−３．Ａ²−２Ａ＋Ｅ＝Ｏの解Ａ（１，１）は，適当な正則行列Ｐを使って，と構成できる。
　Ａ(１．１)なる一つとして例えば，の構成は，まずその対角化を求める。
　ｘ＝１が重解，ｆ_A(Ａ)＝φ_A(Ａ)＝(Ａ−Ｅ)²＝Ｏ，(Ａ−Ｅ)ｘ₂≠０なるｘ₂としてととると，
　　　
このとき，とおくと
　よって，このＰを用いて，

(２) ｎ次の正方行列のとき

Prop６−４．α₁，α₂，…，α_nを固有値とする任意の行列Ａに対して
�T．φ_A(ｘ)が重解をもたない⇔Ａは，対角化される
�U．φ_A(ｘ)が重解をもつとき，その重解の１つをα_iとすると，Ａはなる細胞（Jordan細胞）行列をいくつか並べてできる行列に相似（Jordanの標準形）
（証明略，例えば佐武一郎著『線型代数学』を参照されたい） e．g．６−５． Ａ²＝Ｅをみたす３次の正方行列Ａで，Ａ＝Ｅ，Ａ＝−Ｅ以外を求めると，
　　　φ_A(Ａ)＝(Ａ−Ｅ)(Ａ＋Ｅ)＝Ｏ
は重解をもたないので，例えば，Ａ(１．１．−１)なる任意のＡは，適当な正則行列Ｐを使って
　　　
として構成できる。

e．g．６−６．(Ａ−Ｅ)²(Ａ−２Ｅ)＝Ｏ をみたす３次の正方行列Ａは，ｘ＝１が重解に注意して，
degφ_A＝２のとき，φ_A(Ａ)＝(Ａ−Ｅ)₂，(Ａ−Ｅ)(Ａ−２Ｅ) より例えば，
　　　Ａ(１．１．１)，Ａ(１．２．２)
なる任意のＡは，それぞれ適当な正則行列Ｐを使って，
　　　 ，
Ｐとして構成できる。
degφ_A＝３のとき，φ_A(Ａ)＝(Ａ−Ｅ)²(Ａ−２Ｅ) よりＡ(１．１．２)なる任意のＡは，適当な正則行列Ｐを使って，
　　　
として構成できる。
　Ａ(１．１．２)なる一つとして例えば，の構成は，Prop．６−３より，ととればよい。

e．g．６−７．(Ａ−Ｅ)⁴＝Ｏ をみたす４次の正方行列Ａは，ｘ＝１が重解に注意して，
degφ_A＝２のとき，φ_A(Ａ)＝(Ａ−Ｅ)² より，Ａ(１．１．１．１)なる任意のＡは，適当な正則行列Ｐを使って，
　　　 ，
として構成できる。

Remark６−８（冪零行列の標準形） このe．g．６−７．は，Ａ−Ｅ≡Ｎ とおくと，Ｎ⁴＝Ｏ， degφ_N＝２ より，冪零行列の標準形から求める方法もある。

７．最小多項式と可換零因子

Def７−１．（可換零因子の定義）
　Ａが可換零因子とは，ＯでないＡに対して ∃Ｂ≠Ｏ ｓ．ｔ．ＡＢ＝ＢＡ＝Ｏ

　このように定義すると

Prop．７−２ Ａが可換零因子 ⇔ detＡ＝０

pr）⇒は，背理法から明らかだが，この逆 を最小多項式を使って証明するとともに，可換零因子Ａに対するＢの構造を明らかにする。

(１) Ａが２次の正方行列のとき
detＡ＝０ より，Ａの固有値を，０，α とおくと，φ_A(Ａ)＝Ａ(Ａ−αＥ)＝Ｏ
ここで，Ｂ≡Ａ−αＥ とおくと，φ_Aの最小性より Ｂ≠Ｏ ｓ．ｔ．ＡＢ＝ＢＡ＝Ｏ

(２) Ａがｎ次正方行列のとき
detＡ＝０ より，Ａの固有値を，０，α₁，α₂，…，α_n-1 とおくと，
　　ｆ_A(Ａ)＝Ａ(Ａ−α₁Ｅ) …(Ａ−α_n-1Ｅ)
　ここで，Ａの相異なる固有値を，改めて，０，α₁，α₂，…，α_s とおくと，degφ_A＝ｒ（２≦ｒ≦ｓ）のとき，α₁，α₂，…，α_sからｒ−１個を選んで，改めてα₁，α₂，…，α_r-1とおくと，
　　　φ_A(Ａ)＝Ａ(Ａ−α₁Ｅ) …(Ａ−α_r-1Ｅ)＝Ｏ
Ｂ≡(Ａ−α₁Ｅ) …(Ａ−α_r-1Ｅ) とおくと，φ_Aの最小性よりＢ≠Ｏ ｓ．ｔ．ＡＢ＝ＢＡ＝Ｏ
以上より，Ａは可換零因子である。　　　□

e．g．７−３．のとき，φ_A(Ａ)＝Ａ²(Ａ−Ｅ)＝Ｏ
　よって，Ｂ≡Ａ(Ａ−Ｅ) とおけば，ＡＢ＝ＢＡ＝Ｏ が成立する。

８．まとめー今後の進展−

　最後に，いつもレポート発表の機会を快く提供してくれた数学教育実践研究会，特に役員の方々，また，お忙しい中丁寧な指導して頂いた吉田知行教授に，感謝申し上げ，結びとしたい。