−教育現場のおける基礎研究−

行列における零因子の構造

１、はじめに

(1)　高校生にとっての零因子

　高校生にとって初めての零因子との出会いは，新鮮な驚きである。本校でも，かつて数学Ｃの授業で生徒から『行列における零因子とはいかなる構造をしているか』『どうすれば零因子がつくれるのか』という質問があったばかりでなく，昨年の本校生徒の加賀谷英樹君は，以下の通りの小研究を試みた。

(2)　生徒の小研究（要旨）

　冒頭のような例から，2次の正方行列について『零因子⇒逆行列をもたない』ことが予想されるので，これを背理法によって証明。（必要条件）
　ところが，逆に
　　　
のように，『逆行列をもたない』からといって『零因子』になるとは限らないので，十分条件についても考えた。（このとき，私の方では，行ベクトルａ，列ベクトルｂ'だけの示唆を与えた。）
　　　　　
とおくとき，必要条件より，ａ₁//ａ₂，ｂ'₁//ｂ'₂であるが，必要十分条件として
　　　『ＡＢ＝Ｏ⇔ａ_i・ｂ'_j＝０　⇔　ａ_i⊥ｂ_j　　1≦∀i，ｊ≦2』　　☆
を導いた。
　さて，同君は，この2次の場合を3次に単純に拡張した。つまり
　　　　　
とおくとき，必要条件より
　　　ａ_i//ａ_j，ｂ'_i//ｂ'_j　　　1≦∀i，j≦3
と，早合点してしまった。平面（2次元）と空間（3次元）とのギャップである。

(3)　高校生向けに直観的な説明

　正方行列Ａ，Ｂが2次または3次のいずれにしても，『零因子』については，☆が成立しているが，これだけでは残念ながら構造的にどうなっているのかわからない。

Ａ，Ｂが2次のとき

　生徒の解答のとおりである。
　　　ａ_i⊥ｂ'_j　　　（1≦∀i，j≦2）
　（これより，各ａ_i同士，各ｂ'_j同士が平行）
　　　1≦∀i，j≦2

Ａ，Ｂが3次のとき

ＣＡＳＥ1：

　一般に，これをｎ次元に拡張すると，ｎ次元空間を垂直な2つの部分空間Ｗ₁，Ｗ₂に分割したとき，このＷ₁からａ_iを，Ｗ₂からｂ'_jをとれば，☆が成立する。

　以上のような直観的な説明では，厳密性に欠ける。高校の数学Ｃの範囲では精確な論証はできないわけである。そこで，テーマをあくまでも零因子に限って，線型代数学の領域に一部踏み込んだ。これによって，4次元以上の抽象的なベクトルを導入する必要性も自然に納得できるはずである。同時に，線型代数学の動機づけにも成り得るものと考える。

２．零因子の構造

�T　ＡＢ＝ＯとなるＡ，Ｂの必要十分条件は何か？ �U　任意の行列Ａを与えたとき，ＡＢ＝Ｏ，ＣＡ＝ＯとなるＢ，Ｃをそれぞれ構成せよ。

　以下，線型代数学の中で，必要とする定義（Def），定理（Th），命題（Pro）のみ確認しておく。定理（Th），命題（Pro）の証明は，すべて標準的な線型代数学のテキスト，例えば佐武一郎著『線型代数学』（多数出版されている中で最も参考にさせて頂いた）をご参照頂きたい。なお，本稿に直接関係する命題（Pro）については，できるだけ証明を付けた。

(1)　基本用語，記号

　ベクトル空間（または線型空間）とは，ベクトル演算が定義できる集合をいう。ここで，ベクトル演算とは，Ｖをベクトルの集合，Ｋ＝Ｒ（実数の集合）とするとき
　　　�@ Ｖ∋ａ，ｂ⇒ａ＋ｂ∈Ｖ　　　�A Ｖ∋ａ，Ｋ∋ｋ⇒ｋａ∈Ｖ
このとき，Ｖをベクトル空間という。

(2)　ｎ次元ベクトル空間について

　ベクトルの成分は，すべて実数とする。
　ａ=（a₁，a₂）を2次元ベクトル，ａ=（a₁，a₂，a₃）を3次元ベクトル，これを拡張して，一般にａ=（a₁，a₂，…，a_n）をn次元ベクトルといい，Ｖⁿで表す。
　n次元ベクトル空間では，をａの絶対値，ａ･ｂ=a₁b₁＋a₂b₂＋…＋a_nb_nをａとｂの内積と定義すると，よりなるθが定義できるので，これをａとｂのなす角という。特にａ･ｂ＝０のとき，ａとｂは垂直といいａ⊥ｂで表す。

Def1（部分空間）
Ｖ⊇Ｗについて，ＷもＶと同じベクトル演算が定義できる集合のとき，ＷをＶの部分空間(Sub Sp.)という。つまり，ＷがＶの部分空間(Sub Sp.)とは，Ｖ⊇Ｗかつ
　　�@ Ｗ∋ａ，ｂ⇒ａ＋ｂ∈Ｗ　　�A Ｗ∋ａ，Ｋ∋ｋ⇒ｋａ∈Ｗ

Def2（直交補空間）−これが零因子のキーワードとなる
Ｖ⊇Ｗ：Sub Sp.に対して，Ｗ^⊥≡｛ｘ∈Ｖ：ｘ･ｙ＝０，∀ｙ∈Ｗ｝とおくとき，このＷ^⊥も，ＶのSub Sp.となるが，これを特にＷの直交補空間という。

Def3（積空間，和空間）
Ｖ⊇Ｗ₁，Ｗ₂：Sub Sp.とするとき，
　　　Ｗ₁∩Ｗ₂≡｛ｘ：ｘ∈Ｗ₁，ｘ∈Ｗ₂｝
　　　Ｗ₁＋Ｗ₂≡｛ｘ₁＋ｘ₂：ｘ₁∈Ｗ₁，ｘ₂∈Ｗ₂｝
も，ＶのSub Sp.となるが，それぞれＷ₁，Ｗ₂の積空間，和空間という。

Def４（1次独立，1次従属）
Ｖ⊇Ｗ：Sub Sp.とする。Ｗ∋ａ_i，Ｋ∋ｋ_i　1≦i≦rに対して，
(1)ｋ₁ａ₁＋…＋ｋ_rａ_r＝０　⇒　ｋ₁＝…＝ｋ_r＝０のとき，｛ａ₁，…，ａ_r｝を，1次独立（indep）
(2) (1)の否定，つまり，Ｋ∋∃ｋ_i≠O（1≦i≦r） s.t.　ｋ₁ａ₁＋…＋ｋ_rａ_r＝０が成立するとき，｛ａ₁，…，ａ_r｝を，1次従属（dep）という。

Def５（次元）
Ｖ⊇Ｗ：Sub Sp.とする。Ｗ∋ａ_i，1≦i≦rに対して，｛ａ₁，…，ａ_r｝がindep，かつ，Ｗ∋∀ｘに対して｛ａ₁，…，ａ_r，ｘ｝がdepのとき，ｒをＷの次元，｛ａ₁，…，ａ_r｝をＷの底（base）といい，dimＷ＝ｒ，Ｗ＝｛ａ₁，…，ａ_r｝と表す。

Def６（1次写像）
Ｖ，Ｖ'：ベクトル空間に対して，ｆ：Ｖ⇒Ｖ'が1次写像とは，Ｋ∋ｋ，ｌ，Ｖ∋∀ｘ，ｙに対して，ｆ(ｋｘ＋ｌｙ)＝ｋｆ(ｘ)＋ｌｆ(ｙ)

Def７（1次写像の像と核）
Ｖ，Ｖ'：ベクトル空間に対して，ｆ：Ｖ⇒Ｖ'が1次写像のときｆ(Ｖ)≡｛ｆ(ｘ)∈Ｖ'：ｘ∈Ｖ｝をＶのｆによる像といい，Imｆで表す。
ｆ'(０)≡｛ｘ∈Ｖ：ｆ(ｘ)＝０∈Ｖ'｝をＶのｆよる核といい，Kerｆで表す。

Remark　Ｖ'⊇Imｆ，sub.ｓｐ．，Ｖ⊇Kerｆ，sub.ｓｐ．である。

Th1（1次写像と行列）
Ｖⁿ，Ｖ^m：ベクトル空間　⇒　∃ｆ：Ｖⁿ⇒Ｖ^mが1次写像　s．t．ｆ(ｘ)＝Ａｘ　∀ｘ∈Ｖⁿ
　この（ｍ，ｎ）行列Ａは，ｆによって一意的（unique）

Remark　1次写像ｆと行列Ａが一対一対応するので，ｆとＡを同一視すると
　とおくとき，に対して
　　Imｆ＝ImＡ＝｛Ａｘ：ｘ∈Ｖⁿ｝＝｛ａ'₁ … ａ'_n｝，Kerｆ＝KerＡ＝｛ｘ∈Ｖⁿ：Ａｘ＝０｝
　Ｖ^m⊇ImＡ，sub.ｓｐ．，Ｖⁿ⊇KerＡ，sub.ｓｐ．である。

Th2（1次写像と次元）
ｆ：Ｖⁿ⇒Ｖ^mが1次写像，ｆ(ｘ)＝Ａｘ ∀ｘ∈Ｖⁿ
　　⇒　dimｆ(Ｖⁿ)＝ｎ−dim(Kerｆ)，つまりdim(ImＡ)＝ｎ−dim(KerＡ)

Remark　1次写像ｆによって，次元ｎがdim(Kerｆ)減るので，dim(Kerｆ)を退化次数という｡

Cor　ｆ：Ｖⁿ　⇒　Ｖ^mが1次写像，Ｖⁿ⊇Ｗ^s：sub.ｓｐ．
　⇒　dimｆ(Ｗ^s)＝ｓ−dim(Kerｆ∩Ｗ^s)

Prop1（直交補空間と次元）
Ｖ⊇Ｗ：sub.ｓｐ．として，Ｖ＝Ｗ＋Ｗ^⊥，Ｗ∩Ｗ^⊥＝φが成り立つとする。
このとき，ＶをＷとＷ⊥の直和といい，以後Ｖ＝ＷＷ^⊥で表す。

Cor　Ｖⁿ⊇KerＡ＝｛ｘ∈Ｖⁿ：Ａｘ＝０｝について，Ｖⁿ＝KerＡ(KerＡ)^⊥

Remark　ここで，KerＡ＝{ａ₁ … ａ_m}^⊥，(KerＡ)^⊥＝{ａ₁ … ａ_m }とすれば，☆が成立。

Th3（行列の階数rank）
　⇒　dim{ａ₁ … ａ_m }＝dim{ａ'₁… ａ'_n}＝dim ImＡ
　この結果定義される次元を，行列Ａの階数といい，rankＡで表す。

Cor　rankＡ＝dim(IｍＡ)＝ｎ−dim(KerＡ)

Ａ＝（ｍ，ｎ），Ｂ＝（ｎ，ｌ）とする。

Prop2　ＡＢ＝Ｏ　⇔　Im Ｂ⊆Ker Ａ

Cor　ＡＢ＝Ｏ　⇒　rankＡ＋rankＢ≦ｎ

Def８（零因子の定義）
Ａが零因子とは，ＯでないＡに対して ∃Ｂ≠Ｏ ｓ．ｔ．ＡＢ＝Ｏ または ＢＡ＝Ｏ

　このように定義して，『rankＡ＋rankＢ≦ｎ』を仮定すると，Ａに対して『ImＢ⊆KerＡ』つまりＢ＝（ｂ'₁…ｂ'_l）をKerＡ＝{ａ₁…ａ_m}^⊥のsub.sp.ととれば，Corの も成立。
この結果，�Tの回答として『ＡＢ＝Ｏ　⇔　rankＡ＋rankＢ≦ｎ』が得られる。 ☆☆

Remark　☆☆は，零行列を含む。1≦rank(Ａ,Ｂ)≦ｎ−1のとき，零因子である。

(4)　�U　任意の行列Ａに対して，ＡＢ＝Ｏ，ＣＡ＝ＯとなるＢ，Ｃをそれぞれ構成せよ。

　ＡＢ＝ＯとなるＢの構成については，3で明らかになった。
次に，ＣＡ＝ＯとなるＣの構成については，Ｃを（ｋ，ｍ）行列とすると☆☆より，『ＣＡ＝Ｏ　⇔　rankＣ＋rankＡ≦ｍ』が得られる。
具体的には，Prop1を使うと，Ｖ^m⊇ImＡ：sub.sp.より，Ｖ^m＝(ImＡ)(ImＡ)^l
(ImＡ)^⊥≡｛ｘ∈Ｖ^m：ｘ･ａ'_i＝０，1≦∀ｉ≦ｎ｝
　　　　＝｛^tｘ∈Ｖ^m：^tｘＡ＝０｝
　ここで，行ベクトル：_tｘ＝（ｘ₁…ｘ_m）∈Ｖ^mはＶ^mのsub.sp.である。よって，
　　　　ｃ_i∈Ｖ^m　1≦∀ｉ≦ｋ
の構成は，Ａに対して，｛ｃ₁…ｃ_k｝を(ImＡ)^⊥のsub.sp.ととればよい。

Prop3（�Uの応用例として，北海道大学理学研究科大学院資格試験問題から）
Ａ，Ｂ：Ｏでないｎ次複素正方行列，rankＡ＋rankＢ＜ｎ
　⇒∃Ｘ≠Ｏ　s.t.　ＡＸ＝ＸＡ＝Ｏ　かつ　ＢＸ＝ＸＢ＝Ｏ

３．零因子とCaylay-Hamiltonの方程式

(1)　2次の正方行列のとき

　高校の数学Ｃの範囲である。とおくと，ＣＨＥは，detＡ＝０より
　　　ｆ_A(Ａ)＝Ａ²−（ａ＋ｄ）Ａ＝Ｏ　⇒　{Ａ−(ａ＋ｄ)Ｅ}Ａ＝Ａ{Ａ−(ａ＋ｄ)Ｅ}＝Ｏ
よって，Ａ≠Ｏに対して，
　　　
とおけば，Ｂ≠Ｏ，ＢＡ＝ＡＢ＝Ｏ よって，Ａは零因子

(2)　ｎ次の正方行列とき

　まず，最小多項式について準備する。以下，多項式はすべてスカラー係数とする。

Def９（最小多項式）
ｇ(Ａ)＝ＯとなるＡの多項式ｇ(Ａ)の中で，Ａの次数が最小かつＡの最高次の係数が1のものをＡの最小多項式といい，Φ_A(Ａ)で表す。Φ_A(Ａ)＝Ｏである。

Prop４　ｇ(Ａ)＝Ｏとなる任意の多項式ｇ(Ａ)に対して，ｇ(ｘ)はΦ_A(ｘ)で割り切れる。

Cor1　Ａの固有多項式ｆ_A(ｘ)は，Φ_A(ｘ)で割り切れる。

Cor2　ｆ_A(λ)＝０　⇒　Φ_A(λ)＝０

pr）⇒は成立しているので，について示す。
　ＣＨＥは，detＡ＝０より
　ｆ_A(Ａ)＝Ａⁿ＋ａ₁Ａ^n-1＋…＋ａ_n-1Ａ＝Ｏ
　　⇒　Ａ｛Ａ^n-1＋ａ₁Ａ^n-2＋…＋ａ_n-1Ｅ｝＝Ａ｛Ａ^n-1＋ａ₁Ａ^n-2＋…＋ａ_n-1Ｅ｝＝Ｏ
よって，Ａ≠Ｏに対して，ｇ₁(Ａ)≡Ａ^n-1＋ａ₁Ａ^n-2＋…＋ａ_n-1Ｅとおけば，
ｇ₁(Ａ)≠Ｏのとき，Ａｇ₁(Ａ)＝ｇ₁(Ａ)Ａ＝Ｏより，Ａは零因子，このときＢ＝ｇ₁(Ａ)
ｇ₁(Ａ)＝Ｏのとき，ｆ_A(ｘ)＝ｘ（ｘ^n-1＋ａ₁ｘ^n-2＋…＋ａ_n-1）よりｆ_A(０)＝０
Prop3のCor2よりΦ_A(Ｏ)＝Ｏ，よって，Prop3よりｇ₁(Ｏ)＝Ｏ ∴ａ_n-1＝Ｏ
次に，ｇ₁(Ａ)＝Ｏについて，ｆ_A(Ａ)＝Ｏと同様なことを繰り返せば有限回で
　　　Ａ(Ａ＋ａ₁Ｅ)＝(Ａ＋ａ₁Ｅ)Ａ＝Ｏ
を得る。ここで，ｇ_n-1(Ａ)≡Ａ＋ａ₁Ｅとおくと，
　　　ｇ_n-1(Ａ)≠Ｏのとき，Ａｇ_n-1(Ａ)＝ｇ_n-1(Ａ)Ａ＝Ｏより，Ａは零因子，Ｂ＝ｇ_n-1(Ａ)
　　　ｇ_n-1(Ａ)＝Ｏのとき，ａ₁＝０，このとき，ａ₁＝…＝ａ_n-1＝０よりＡⁿ＝Ｏ
よって，Ａは零因子，このときＢ＝Ａ^n-1　　　□

４．冪零行列

　冪零行列は，Def９から零因子の特別な場合である。この冪零行列の構造について考える。

Prop６　Ａ＝（ｍ，ｎ），Ｂ＝（ｎ，ｌ）とする。rankＡ＋rankＢ−ｎ≦rankＡＢ

pr) （⇒）Ａの任意の固有値をλとすると，∃ｘ≠０　ｓ．ｔ．Ａｘ＝λｘ
よって，Ａ^mｘ＝Ａ^m-1（Ａｘ）＝Ａ^m-1（λｘ）＝λ（Ａ^m-1ｘ）
以下同様にして，Ａ^mｘ＝λ^mｘが成立。　Ａ^m＝Ｏよりλ^m＝０ ∴λ＝０
（）Ａの固有方程式ｆ_A(λ)＝０のｎ個の解λ₁…λ_nについて，
λ₁＝…＝λ_n＝０　よって，λのｎ次方程式ｆ_A(λ)＝０の解と係数の関係より，
各係数ａ_k＝０（ｋ＝1，2，…，ｎ）　　∴Ａⁿ＝Ｏ
よって，∃ｍ≦ｎ　ｓ．ｔ．Ａ^m＝Ｏ かつ Ａ^m-1≠Ｏ　　　□

Cor2 Ａがｍ冪零行列　⇒　ｍ≦ｎ

Remark このCor2の結果，ｍ冪零行列Ａの構造は，ｍ≦ｎなるｍについて調べればよい。
　理論上はCor1によるが，Prop７のCorが有力な手掛かりとなる。

Prop９（2次の冪行列）
　　Ａ²＝Ｏ，Ａ≠Ｏ　⇔　　　ただし，ａ²＋ｂｃ＝０

pr） とおくと，ＣＨＥでdetＡ＝０及びＡ²＝Ｏより，(ａ＋ｄ)Ａ＝Ｏ
　　　∴ａ＋ｄ＝０　　ｄ＝−ａ　よって，成立。　　　□

Prop10（3次の冪行列）
　�@Ａ²＝Ｏ，Ａ≠Ｏ
　　⇔　
　かつ，ａ＝（ａ ｂ ｃ） ｋ＝（ｋ ｌ ｍ）とおくと，ａ･ｋ＝Ｏ，ａ≠０，ｋ≠０
　�AＡ³＝Ｏ，Ａ²≠Ｏ
　　⇔　Ａ ＝（ａ_ij）＝（ａ'₁，ａ'₂，ａ'₃） ここで，ａ'₁，ａ'₂，ａ'₃は，ｄep．かつ，ａ₁＝ａ₂＝Ｏ
　　ａ₁≡trＡ＝ａ₁₁＋ａ₂₂＋ａ₃₃，

pr)（）については，�@は直接代入し，�Aは，ＣＨＥに代入して成立。
（⇒）については，Prop７のCorを使うと
�@は，rankＡ≦3／2より，rankＡ＝1　　よって，成立
�Aは，rankＡ≦2より，rankＡ＝2　　よって，成立　　　□

５，まとめ 　−今後の進展ー

(2)　線型代数学は，1世紀半前に完成されたという。その中で，『零因子』は特殊な存在で，その定義すら曖昧に扱われ，あまりとりあげられてはいないのが残念である。研究的に易しすぎるということだろうが，教育的には，生徒が興味を持つように，十分その価値を持っている。1つの指導法として，『零因子』を生徒に具体的に構成させる中でベクトルの内積を導入する方法も考えられる。また，線型代数学そのものについても，殆どのテキストが行列式から導入しているが，本稿のように『零因子』から導入し，先にベクトル空間を学び，行列式を後回しにすることも考えられる。教育的には，まだまだ未開発の分野で，大いに開発の余地を残していると思う。

(3)　現場からの基礎研究，という立場で最近の私は発信している。生徒からの質問，疑問は今回の『零因子』に限らず多種多様であるが，これに明快に応えていくためには，基礎研究は必要不可欠であると考えるからである。生徒と共に学ぶ教師でありたいと思う。