2つの線分の交点の位置ベクトルや
内分比を求める裏技（教師用）

札幌東高校　佐藤　　清

［はじめに］

　ベクトルの単元のいわゆるｓｔ問題を扱ったときに，ふとしたはずみで下の問題のような2つの線分の交点の位置ベクトル，あるいは各線分の内分比を求める簡易的方法（裏技）に気がついたので今回まとめてみました。

　随分以前のセンター試験等で主役だったこの種の問題は，現在では内積および角度条件がつくなど，メネラウスやチェバの定理，基礎的なUFO作戦のみで何とかしようとするよりも，文字係数を用いて連立方程式に持ち込むという基本的な解法の方が重要であると考えます。

　また，この裏技は限定された設定の場合ですし，時々しか活用しないのに暗記する事項が結構あります。したがって，あくまで教師側の検算用，趣味用，生徒をびっくり手品用，と押さえて，生徒の指導上に活用する事には十分な注意が必要と考えます。私は演習の解答の際に「きよしの定理」と言って別解の一つとして紹介した程度で説明はしませんでした。

　今回は裏技の紹介で終わっていますが， との関連や，面積比，重心などとの関係を研究すると，さらにおもしろい事項が発見できそうな予感もしています。誰かがこれを元に素晴らしい裏技を発見したらどうか教えてください。

［問　題］

　三角形ＡＢＣにおいて， ， とし，辺ＡＢ，ＡＣの内分点Ｄ，Ｅを次のように定める。
　　ＡＤ：ＤＢ＝ａ：ｂ，　ＡＥ：ＥＣ＝ｃ：ｄ
　このとき，ＤＣとＢＥの交点をＰ，ＡＰとＢＣの交点をＱとする。
　（1） ＢＱ：ＱＣ の比を求めよ。
　（2） を と で表せ。

［解答例］

（１） チェバの定理を用いて
　　　
であるから，
　　　　よって　
したがって，
　　ＢＱ：ＣＱ＝ｂｃ：ａｄ　　・・・・・(答)

（２）（１）より
　　　
３点Ａ，Ｐ，Ｑは同一直線上にあるから，
　　　
とおくことにより，
　　　
となる。この式を，
　　　　　・・・①
と変形し，点Ｐが線分ＣＤ上の点であることにより，
　　　
ゆえに
　　　
したがって
　　　　・・・②
　　　　・・・（答）

［内分比］

　この結果から次のような辺の比がわかる。
（１） より　ＢＱ：ＱＣ＝ｂｃ：ａｄ
　②より　　ＡＰ：ＰＱ＝（ａｄ＋ｂｃ）：ｂｄ

　また，①のし気にｋの値を代入して，
　　　ＤＰ：ＰＣ＝ｂｃ：（ａｄ＋ｂｄ）
　点Ｐが線分ＢＥ上にあることから同様の計算をして，
　　　ＢＰ：ＰＥ＝（ｂｃ＋ｂｄ）：ａｄ


［裏　技］

（１）ＢＱ：ＱＣ　の比を求める。

ＢＱ：ＱＣ＝ｂｃ：ａｄ

　この結果を図形的に覚えてしまう。
（２）
ＤＰにｂｃを，ＰＥにａｄの値を書き写す。

ＰＱにｂｄの値を書く。

　これも形式的に覚える。
（３）
ＡＰ：ＰＱ＝（ａｄ＋ｂｃ）：ｂｄ
ＤＰ：ＰＣ＝ｂｃ：（ａｄ＋ｂｄ）
ＢＰ：ＰＥ＝（ｂｃ＋ｂｄ）：ａｄ
であったが，

これを右の図のように比の値を加えることによって求める。

　これですべての内分比を簡単に求めることができた。
　位置ベクトルを求める場合は，この比をもとに立式するか，分母のａｄ＋ｂｃ＋ｂｄと分子のａｄとｂｃを覚えておけばよい。

　では都合のよい入試問題の解法に活用してみます。


問題演習　

2000.1.29.　数実研

【１】［1998北海学園大学］
△ＡＢＣの辺ＡＢを３：１の比に内分する点をＤ，辺ＡＣを２：１の比に内分する点をＥとする。また，ＢＥとＣＤの交点をＰとし，ＡＰの延長が辺ＢＣと交わる点をＦとする。
， とおくとき
　（1） を ， を用いて表わせ。
　（2） を ， を用いて表わせ。
　（3）ＡＰ：ＰＦを求めよ。

解答　（1） 　（2） 　（3）ＡＰ：ＰＦ＝５：１

【２】［1997東北大］
三角形ＯＡＢの２辺ＯＡ，ＯＢをそれぞれ３：１，４：１に内分する点をＣ，Ｄとし，ＢＣとＡＤの交点をＰ，ＣＤとＯＰの交点をＱとする。ベクトル ， をそれぞれ ， とおくとき
　(1) を ， を使って表わせ。
　(2) を ， を使って表わせ。

解答　（1） 　（2）

【３】［1997九州芸術工科大］
０＜ｔ＜１とする。三角形ＯＡＢにおいて，辺ＯＡをｔ：（１－ｔ）に内分した点をＰ，辺ＯＢを（１－ｔ）：ｔに内分した点をＱとする。線分ＡＱと線分ＢＰの交点をＲ，直線ＯＲと辺ＡＢの交点をＳとする。
， とおくとき
　(1) を ， ，ｔを用いて表わせ。
　(2) のとりうる値の範囲を求めよ。

解答　（1） 　（2）