柔らかな思考力を求めて

• 数学的な見方や考え方のよさや認識
• 活用する態度の育成

1. 身近な事象を数学化し、数学的な課題を設定する活動
2. 数学的に考察、処理し、数学的知識（数学の新しい理論・定理等）を構成する活動
3. 数学的知識の意味づけや活用したりする活動

（１）直観的な見方や見通しをもつ力

面積が５c�uの正方形を、右の１目盛り１�pの方眼紙に書きなさい。ただし、その４つの頂点は、方眼紙の直線の交点にくるようにすること。

《解答》
　　　

�@出題のねらい
　この問題は平成５年度の秋田県高校入試問題である。本校では平成７年６月の１年生実力テストで出題した。ちなみに秋田県での正答率は３０．９％で、本校では正答者１５５名、６７．１％となっている。
　ここでは、論理的な思考力や代数的な処理よりも、一点に集中して考え、直観的に作図の方法を発見することが求められる。

�A授業改善の視点
　直観力を育てるには、まず思いついたアイデアを自由に出せる雰囲気が授業の中では必要になろう。「笑われるのではないか」と思わせず、どんな突飛なアイデアも奨励したい。また、できたら終わりではなく、他の方法はないか、もっとエレガントな解法はないかと、興味や関心が高まっていくような授業にしたい。そのためには、教師も生徒と一緒になって探求することを楽しむことが大切であろう。さらに、いろいろな解き方やアプローチを出し合うことで、思考力や判断力を磨き合うこともできる。

（２）柔軟に図形を見る目を養い、図形が変化しても保存される性質を見抜く

一辺の長さが４の立方体ABCD-PQRSがある。 ただし、２つの正方形ABCD,PQRSは立方体の向かい合った面で，AP,BQ,CR,DSはそれぞれ立方体の辺 である。 　今、立方体は一辺の長さ１の小立方体に積み木状に区切られているとする。そこで頂点AからRへ小立方体の辺をたどっていくときの最短経路を考える。 （１）頂点Aから頂点Rまでの移動距離はいくらか （２）頂点Aから頂点Rへ最短経路は何通りあるか （３）辺BC上の点を通過する最短経路は何通りあるか

《解答》
（１）４×３＝１２
（２）AB方向に長さ１進むことをａ、AD方向に長さ１進むことをｂ、AP方向に長さ１進むことをｃ、で表すと、AからRへの最短経路は４つのａ、４つのｂ、４つのｃを１列に並べることで決まる。よって、
　　　
（３）立方体の面ABCDとBCQRを取り出した長方形におけるAからRへの最短経路を考えればよいから、
　　　

�@出題のねらい
　この問題は平成１０年の９月に、１年生に出題した。２３７人中、（２）の正解者８９人、（３）の正解者２１人となっている。授業で１度でも取り上げていれば、また違った数字になったのだろうが、授業では平面図での最短経路までしか扱っていなかったので、生徒は思いの外戸惑ったようである。既習事項である平面での考え方を、どのように適切に活用していけるかを問う問題であり、それらを生徒がどのように利用して解決しようとしているかという、数学的な考え方も評価できる。立体を平面に変形して考える、柔軟な思考力が求められる。

�A授業改善の視点
　生徒が学習する中で、問題を解きその解法に習熟するだけでは、考える力の乏しいものへと流れてしまう。図形の問題においても、その場面だけで捉えるのではなく、「いつも言えることは何か」、「図を変形しても変わらないことは何か」といったように、一般性をもって考えていくことが大切になる。そのためには、生徒自らが考えて、工夫できることはないかと探求する心をもって授業が展開されることが望まれる。そこで教師は「なぜそうなのか」といった適切な発問や助言を、意識して問いかけることが必要となる。考える力を育てるためには、こうしたことを日頃の授業から配慮すべきであろう。

（３）生活の中の数学と規則性の発見

電話機のボタン配列から２，４，５，６，８，０の部分を切り取ってサイコロを作る。このサイコロを２回投げるとき、出る目の和が奇数になる確率を求めよ。

《解答》
　　　

�@出題のねらい
　滋賀県の高校入試問題からヒントを得て作った問題である。平成７年度の３月学年末考査で１年生に出題した。受験した２３６名のうち、正解者は１１１名。正答率は４７．０％である。ちなみに滋賀県での正答率は３５．４％である。
　この問題は電話のボタン配列という、身近な数の生活事象から選ばれている。発見した事象や規則を、一般化した問題に応用させることで、他に転用する力を問うている。別の試験で電卓のボタン配列からサイコロを作り出題したこともある。（下図）

�A授業改善の視点
　身近な題材を取り上げることにより、

• 数理的な処理の「良さ」を理解させる
• 数学的な興味や関心を持てるよう工夫する
• 題材のもつ数学的魅力に気づかせる

（４）日常の出来事を数学的な問題として設定し、整理・発展させていく力を育てる

仲の良い６人グループでカラオケに行くとする。Ａ君はひそかにＸさんのことが好きなので、いつもＸさんの隣りに座りたいと思っている。このとき次の問に答えよ。ただし、カラオケボックスの席は下図のような横長の長いすとする。 （１）６人の座り方は全部で何通りあるか。 （２）Ａ君とＸさんが隣り合って座る場合は何通りあるか。 （３）Ａ君がいつもＸさんの隣りに座っていたのでは、みんなにＸさんが好きなことが気づかれてしまう。何回に１回の割合で座ればみんなに気づかれないといえるか。

《解答》
（１）６！＝７２０
（２）５！×２！＝２４０
（３）Ａ君がＸさんの隣に座る確率は、２４０/７２０=１/３
　つまり、意識しなくても３回に１回は隣りになるのだから、３回に１回の割合で座ればよい。

�@出題のねらい
　この問題は埼玉県浦和西高校の太田敏之先生の実践を参考にさせていただいた。平成１２年の冬休み明け１月に１年生全員に出題した。（３）がこの問題の核心部分であるが、いきなりの問いかけでは戸惑うだろうと、（１）、（２）を枝問として誘導した。
　この問題は右図の一連の流れで示される数学的活動そのものだと捉えられる。しかし、その結果には愕然とさせられた。直接採点をする機会はなかったのだが、採点者によると、「正答者は１クラス１０人程度で、正答率はせいぜな考い３０％ぐらいだろう」ということであった。もし、「Ａ君とＸさんが隣り合って座る確率を求めなさい」と出題されていれば、８割以上が正解したであろう。そのことを考えると、指導してきた生徒がこの程度の変化（応用）に対しきれない弱さには、歯がゆさを感じる。現学習指導要領改訂の際によく引き合いに出されていた、

• 一つの解がｘ＝−３である二次方程式を一つだけ作りなさい。（正当率２６％）
• ｘ²−ｘ−１２＝０ を解きなさい。（正当率７７％）

�A授業改善の視点
　生活事象を数学化することは、あまり行われていない。しかし、自然や生活空間の中には、見事な規則性や法則が隠れていたりする。そんな生活事象を素材とする教育開発や蓄積が大切であろう。
　生徒の誤答には「１万回に１回ぐらいなら誰も疑わない」といったように、はじめから数学的に捉えることを放棄しているものもあった。このことからも、数学が生活の中でどう役立ち、数学をどう生かすことができるかということを気づかせたい。さらに、数学を身近なものにすることへの配慮と既習事項を組み立てて考えたり、創ったりする「切り拓く力」の育成も十分に考えていく必要がある。そのためには課題学習的なもの、トピック学習的なものを学期に一度くらいは気軽に扱えるようにしていきたいと考えている。

（５）帰納的に考え、見つけ出したきまりをもとに文字を使用して一般化する力を育てる

分母が6の正の既約分数（それ以外約分できない分数）を小さい順に並べてつくった数列を {ａn} とする。 （１） である。 （２）数列 {ａn} の奇数番目の項，すなわち ａ1，ａ1，ａ1，ａ1，…を順に並べた数列を {ｂn} とする。 　３７/６は数列 {ａn} の第［オカ］項であり，数列 {ｂn} の第［キ］項である。 　一般に，数列 {ｂn} の第ｎ項は 　　　 であり，数列 {ｂn} の初項から第ｎ項までの和は 　　　 である。 （３）数列 {ａn} の初項から第１００項までの和は［スセソタ］である。

《解答》
（１）６と互いに素である自然数を小さい順に並べると
　　　１，５，７，１１，１３，１７，・・・
　これが順に，数列 {ａ_n} の各項の分子になるから
　　　ａ₄＝１１/６，　ａ₅＝１３/６
（２）（１）に続けて，６と互いに素である自然数を並べると
　　　１，５，・・・，１７，１９，２３，２５，２９，３１，３５，３７，・・・
　よって，３７は１３番目の自然数だから，３７/６は数列 {ａ_n} の第１３項である。
　次に，奇数番目の自然数だけ並べると，
　　　１，３，１３，１９，２５，３１，３７，・・・
　よって，３７/６は数列 {ｂ_n} の第７項である。
　数列 {ｂ_n} は
　　　１/６，７/６，１３/６，１９/６，２５/６，・・・
となり，初項１/６，公差１の等差数列であるから
　　　ｂ_n＝１/６＋(ｎ−１)・１＝ｎ−５/６
　また，数列 {ｂ_n} の初項から第ｎ項までの和は
　　　
（３）数列 {ａ_n} の初項から第１００項までには，奇数番目の項が５０個，偶数番目の項が５０個ある。
　奇数番目の第５０項までの和は
　　　
　次に，数列 {ａ_n} の偶数番目の項を順に並べた数列を {ｃ_n} とすると，数列 {ｃ_n} は
　　　５/６，１１/６，１７/６，２３/６，２９/６，・・・
となり，初項５/６，公差１の等差数列であるから，数列 {ｃ_n} の初項から第５０項までの和は，
　　　
　したがって，数列 {ａ_n} の初項から第１００項までの和は
　　　３７００/３＋３８００/３＝２５００

�@出題のねらい
　この問題は、ベネッセの平成１１年度第３回進研マーク模試のものである。３年生の受験直後に、２年生の授業で取り上げた。模試での全国正答率は（１）９２．７％、（２）４１．２％、（３）２１．３％となっている。
　具体的に数列を書き出し、その中にある２つの数列を考察する問題である。順序よく書き出すことで、帰納的に規則性を発見し、関係を引き出すとともに問題の意味も理解できてくる。具体的に書き出していく操作が有効となる問題である。

�A授業改善の視点
　数列では多くの生徒が第ｎ項という一般化において戸惑う。そこで、具体的に一つひとつ取り出すことで、その中に潜んでいる関係を自ら発見する喜びや一般化することの有用性を実感させたい。そのためには、日頃から具体的に考え、取り出し、そこから関係を見つけ出すよう、丁寧な指導が大切になる。このような操作の中で、関係に気付いた生徒が次にどう発展していくかを教師は意識づければよいだろう。

（６）図から規則性を適切に読みとる力や数学的に処理する力を育てる

ｘ軸とｙ軸で分けられた４つの区画を順にＡ,Ｂ,Ｃ,Ｄとする。これに図１のような渦巻きを書き、順に５，７，９…と記入していった。図２のようにＡ,Ｂ,Ｃ,Ｄの各区画の中心から外側に向かい、１層､２層､３層､…としていくとき、次の問に答えよ。 （１）Ｂの区画で、中心から５番目の層に入る２つの数は何か （２）２００１はＡ〜Ｄのいずれの区画の中心から何番目の層に入っているか （３）Ｃの区画に入る数の和を求めたい 　�@中心から２０番目の層に入っている３つの数の和を求めよ 　�A中心から２０番目の層までの総和を求めよ

《解答》
（１）初項７，公差２０の等差数列の第５，６項目と考えてよいから､８７､８９
（２）初項をａ，公差を２０として考えたとき
　　　２００１＝ａ＋(ｎ−１)･２０
　　　２００１−ａ＝(ｎ−１)･２０
　ここでａは
　　　５，７，９，１１，１３，１５，１７，１９，２１，２３
のいずれかの数で，ｎは自然数だから２００１−ａが２０の倍数になるのは，ａ＝２１のとき。
　このとき　ｎ＝１００　　ゆえに２００１はＤの区画の１００層目
（３）
�@１１＋(２０−１)･２０＝３９１より３つの数は
　　　３９１，３９３，３９５
　よって，３９１＋３９３＋３９５＝１１７９
�A (１１＋１３＋１５)＋(３１＋３３＋３５)＋…＋(３９１＋３９３＋３９５)
　＝(１１＋３１＋５１＋…＋３９１)+(１３＋３３＋５３＋…＋３９３)+(１５＋３５＋５５＋…＋３９５)
　＝１０{２･１１+(２０−１)･２０}＋１０{２･１３+(２０−１)･２０}+１０{２･１５+(２０−１)･２０}
　＝４０２０＋４０６０＋４１００
　＝１２１８０

�@出題のねらい
　島根県の高校入試問題をヒントにしたオリジナル問題である。平成１２年の３月に文系希望の２年生１４３人に出題した。簡単な等差数列を渦巻き状の４つの群に分け、その群を周期化したものである。自然数をあるきまりで分類していくとき、その分類の仕方やそこに属する集合の共通の性質を発展させることをねらいとして出題した。この問題では、対象が文系の生徒だったこともあり、あえて一般項まで拡張することはせず、次の２点にウエイトを置いた出題にしたつもりである。
　ア　設問に興味を持って取り組み解決しようとする関心・意欲・態度
　イ　規則性を見つけ出し、文字式で表そうとする数学的な考え方や表現・処理
　最後まで完答した生徒はそれほど多くはなかったが、全ての生徒がこの問題に手をつけ、解こうという意欲を見せていた。試験後「考えて解いていることが楽しく夢中だった」という生徒の感想を得られたことは収穫であった。

�A授業改善の視点
　まず、一斉授業の中でも一人ひとりが考える時間を確保することが大切であろう。その中で、気づき、発見したものをもとに授業の方向性を示すような指導をする必要がある。また、生徒が自分の見方や考えを持つことと同時に、他人の見方や考え方も認め、比較・検討できるようになることが望ましい。したがって、数学の知識や技能を獲得し、問題が解けるようになることだけを目標にするのではなく、その知識や技能を習得していく課程で様々な考え方に出会い、それぞれの考え方の良さや特徴を感じ取ることができるようになってくれれば素晴らしい。

（７）条件を満たす点の集合を作図やグラフの操作によって表現し、考えようとする力を育てる

連立不等式２ｘ＋ｙ−４≧０＜ｘ≦２，ｙ≦４ で表される領域をＤとする｡次の問に答えよ。 （１）領域Ｄを斜線で図示せよ。また、境界を含むか、含まないかについて記せ。 （２）領域Ｄが表す図形を原点のまわりに１回転させたとき、その図形が通過した領域を連立不等式を用いて表せ。

《解答》
（１）　　

（２）原点から領域Ｄまでの距離の最大値は，点(２，４)との距離に等しいから
　　　
最小値はｙ＝−２ｘ＋４との距離に等しいから
　　　
よって　　

�@出題のねらい
　神奈川県で実施している県下一斉テストの中の一問として、平成８年１１月に出題された問題である。本校では平成１０年１０月の３年生文系に選択問題の一問として出題し、６７名が解答した。見慣れない問題のためか（１）はともかく、（２）の方は正答率が低かった。この問題の解決には、問題文に書かれていることを数学的表現に変えて視覚化することが必要である。しかも単なる作図の手順を覚えていればよいというのではなく、図形が通過した領域を集合としてとらえるという意識を問う問題でもある。内側の円の半径を求めるというイメージができるかどうかという数学的な見方や考え方、さらにはそれを表現する能力が評価できる。

�A授業改善の視点
　問題解決の際、日頃から図形やグラフを書くことに抵抗をなくしておくことが大切だろう。自分で図を書き、問題の特徴をつかむことで、設問に対する解決の流れが見えてくる。つまり思考力を支える表現力として、図を使いこなせるかがポイントであり、そのような学習をしてきたかどうかが問われているともいえる。このような力を育成するためには、普段の授業の中で「図を用いること」の良さや利便性を生徒に味わせることが大切である。そしてその利便性を味わうことで、生徒は考えを深めていくものと考える。したがって、このような利便性を感得させる授業展開を心がけることが重要であろう。

（８）与えられた条件の依存関係をもとに、直観的な思考力や想像力、的確に表現する力を育てる

直線 ｙ＝３ｘ と点A(２,１)について、次の問に答えよ。 （１）ｘ軸について、点Ａと対象な点Ｂの座標を求めよ。 （２）直線 ｙ＝３ｘ について、点Ａと対象な点Ｃの座標を求めよ。 （３）点Ｃを通り、傾きｍの直線の方程式を求めよ。 （４）X軸上に点 Ｐ(ｐ,０)をとり、直線 ｙ＝３ｘ 上に点 Ｑ(ｑ,３ｑ)をとる。（ただし、ｐ＞０，ｑ＞０とする） 　今、Ａ→Ｐ→Ｑ→Ａと移動するときの移動距離が最短となるように、点Ｐ，点Ｑの座標をそれぞれ求めよ。

《解答》
（１）Ｂ(２,−１)
（２）Ｃ(ａ,ｂ)とするとより
　　　ａ＋３ｂ＝５　・・・�@
より
　　　３ａ−ｂ＝−５　・・・�A
�@，�Aより
　　　ａ＝−１，ｂ＝２
ゆえに　Ｃ(−１,２)
（３）ｙ−２＝ｍ(ｘ＋１)より
　　　ｙ＝ｍｘ＋ｍ＋２
（４）ＡＱ＝ＣＱ，ＡＱ＝ＢＰより，ＡＰ＋ＰＱ＋ＱＡが最小となるのはＢＰ＋ＰＱ＋ＱＣが最小となるとき，つまり一直線上にあるときである。
　直線ＢＣはｙ＝−ｘ＋１となるから
　　　Ｐ(１,０)
点Ｑはｙ＝３ｘとの交点だから
　　　３ｘ＝−ｘ＋１　より　ｘ＝１/４
　よって　Ｑ(１/４,３/４)

�@出題のねらい
　秋山仁監修の著書からヒントを得た問題で、設問を誘導型に枝分けした。平成１１年度２年生文系志望者の３月定期考査に出題した。全問完答した生徒は１４３人中４名であった。生徒にしてみれば、対象点を２つ考えなければならないのが気づきづらく、難しくさせたようである。与えられた点と直線上の動点、さらには対象点に着目し、それらの間の依存関係について考察し、数学的な見方や思考の広がりにより「図形と式」分野の総合的な学習の成果を評価できる問題だと思っている。

�A授業改善の視点
　問題（大学入試など）があるからそれに合うように授業を改善していくのは、ある面仕方のないことであろう。しかし、授業を改善することで、テストや入試問題が変わるという気概を持ちたい。普通、数学の授業では問題を与え、それを解かせるといった場面が多い。生徒はその問題を「解ければ終わり」という受動的・完結的な学習になりがちである。これを繰り返せば、解法テクニックは身に付くだろうが、未知の問題に直面しての意欲や関心が薄れ、数学的な見方や考え方は育ちにくい。そこで、生徒に問題を自分のものとして受け止められるような課題や工夫を考えたい。自ら取り組み、考え、納得したことであれば、自分の思考の道筋を自分なりの言葉で表現することができる。そのため教師は生徒がもっている情報やアイデアを引き出し、補充、修正して数学の方法にまで高めていくという構えで授業に臨むことが大切である。みんなで考えを出し合い、着想やアイデアを互いに共有することで、思考の練り合いを多く経験させることもできる。これは生徒一人一人が数学的な知識を構成していく上で重要なことであろう。このような点を大切にして、日常の授業を行っていきたいものである。

（９）回す、拡大するという単純な操作の中に潜む数理を論理的に解明しようとする力を育てる

平面上に５点Ｏ(０,０)，Ａ(１,０)，Ｂ(３,２)，Ｐ(１,１)，Ｑ(４,５)が与えられているとする。平面における次の３つの操作�@,�A,�Bをこの順に行う。 �@Ｏを中心にして正の向きにθだけ回転をする �AＯを中心にしてｋ倍(ｋ＞１)の拡大をする �BＯがＰに移るような平行移動をする 　この結果ＡがＱに移ったとする。このとき、 （１）cosθ，sinθ，ｋをもとめよ。 （２）上の一連の操作�@,�A,�Bの結果Ｂの移った先の点の座標を求めよ。

≪解答≫
（１）複素数平面上で
　　�@はcosθ+ｉsinθをかけること
　　�A実数ｋをかけること
　　�Bは１＋ｉをくわえること
を表すから，ＡがＱに移ることにより
　　　ｋ(cosθ＋ｉsinθ)＋１＋ｉ＝４＋５ｉ
　　　ｋcosθ＋ｋｉsinθ＝３＋４ｉ
よって ｋcosθ＝３，ｋsinθ＝４
２乗して加えると
　　　(ｋcosθ)²＋(ｋsinθ)²＝２５
　　　ｋ²＝２５
k>１より　ｋ＝５，このとき
　　　cosθ＝３/５，sinθ＝４/５
（２）５(cosθ＋ｉsinθ)(３＋２ｉ)＋１＋ｉ＝(３＋４ｉ)(３＋２ｉ)＋１＋ｉ＝２＋１９ｉ
ゆえに、点Ｂが移った先は点（２,１９）

�@出題のねらい
　平成１０年度の京都教育大の入試問題。本校では平成１０年１０月に３年生文系の選択問題として出題し、６２名の者が答えている。一見しただけでは複素数の問題とは気づかないかもしれない。だが、これこそ複素数平面に置き換えることで実にうまくいく問題で、ベクトルの視点を複素数に向けることの大切さがわかる良問だといえる。この問題では、回転する、拡大するといったことで動的にものを見ることでの解決の見通しが必要になる。また、これらの操作によって、点がどのように位置を変え、重なる点との位置関係を論理的に考えることができるかを評価できる。複素数の問題は、多くの分野の知識を問うことができるので、多種多様な解法も期待できる。既習の知識や考え方を総合的に活用し、表現する力や自ら進んで問題を発展させようとする関心・意欲・態度を評価することも可能といえるだろう。

�A授業改善の視点
　生徒がじっくりと思考するためには、学習内容の関連性を大切にし、系統的な学習の良さを感じることが必要である。基礎的・基本的な知識・理解を定着させることは関心・意欲を高める上で当然必要なことだが、それと同時に、今まで学んだことを次の学習に積極的に活用していく態度も重視されよう。今まで脈絡なく覚えていたものが、ある問題や事象をキッカケに、次々と結合していくとき、生徒は驚きとともに感動を得る。このような体験はそのまま数学科の目標にある「…とともに、数学的な見方や考え方の良さを認識し、それらを積極的に活用する態度を育てる」ことにつながるのではないか。見えなかったものが数学を通し見えてくる感動を、生徒に与えるような授業を行っていきたいとつくづく思う。

（２）質の高い問題意識を育てる
　教師が提示する問題は、いつも操作的・発見的で生徒の意欲・関心を引き出すわけではない。むしろ、生徒側の気付きや疑問、こだわりから学習活動を展開していけるような授業づくりが必要であろう。
　生徒の持っている情報やアイデアを引き出し、それを元に授業の進むべき方向を定めることがあってもいいのではないか。自分の考えが広く、深くなければ、他者の考えの良さや特徴も感じることはできないが、そのことはつまり、自分の視野や思考が広くなることで見えなかった問題が見えてくるということでもある。
　結局は数学教育を通して人を育てているということだろうか。前出の吉田明史氏は「数学の内容を習得させるということにとどまらず、内容の指導を通して生徒にどういう資質や能力を身につけさせようとしているのかを研究しておくことが重要だ」と述べている。
　生徒に問題意識を持たせるということは、視野を広くさせることであり、それは柔軟な思考力へつながる小径でもあるという気がしている。

（３）挑戦する場を授業に取り入れる
　挑戦するということは、単に問題に対する取り組みのことではない。
　遅れがちな生徒には、今どんなことをやろうとしているのかを問うことも挑戦であり、進んでいる生徒には、なぜその方法でよいかを自問することも挑戦である。答えが出て安心している生徒に、これはどんなことを意味しているの？と問いかけることもできるだろう。
　数学では抽象的な内容の理解が求められるから、この概念形成のために乗り越えなければならない壁がある。これを越えて達成するのは、生徒自らの力に頼るしかない部分もある。