包含関係から，Ｎ⊂Ｑ₊は明らかである。
逆を示す。
　正の分数の分母をｍ，分子をｌとする。分数は既約であるとは仮定しない。そしてｍ＋ｌ＝ｋとして，ｋの小さい順に正の有理数を並べていくことにする。そのとき，分母は小さい順に並べることとする。
　　　ｋ＝２のときは，分数は１／１である。
　　　ｋ＝３のときは，２／１，１／２の２個である。
　　　ｋ＝４のときは，３／１，２／２，１／３の３個である。
よって，
　　　ｋ＝ｎのときの分数は，(ｎ−１)／１，(ｎ−２)／２，・・・，２／(ｎ−２)，１／(ｎ−１)
となる。またｋ＝ｉのときの個数が(ｉ−１)個より，ｋ＝２かたｋ＝ｎまでの分数の個数は
　　　１＋２＋３＋・・・＋(ｎ−１)＝ｎ(ｎ−１)／２
となる。これより任意の自然数Mに対してｍ＋ｌ＝Mとなる分数は，
　　　最初の分数が　(Ｍ−１)(Ｍ−２)／２＋１　番目
であり，
　　　最後が　Ｍ(Ｍ−１)／２　番目
である。よって任意の正の分数　Ｍ₁／Ｍ₂　もすべて番号が付けられたことになる。よってＮとＱ₊は１対１対応であるから，ＮとＱ₊は同じ個数である。それでは有理数の場合はどうかというと，次のようにして番号を付けていけばすべての有理数に番号を付けることができる。
　具体的に並べてみる。

(２) ∠Ｑ(ｓ)ＯＰ＝β，∠Ｑ(ｔ)ＯＰ＝β とする。　 ， とおく。�@より
　　　 ，
　　　
また，
　　　
同様に tanα＝ｓ となる。また，
　　　
同様に
　　　
また，ｕ，ｖは共に有理数であるからｓもｔも共に有理数である。(１)より
　　　
同様に
　　　
よって
　　　
よって，ｔ，ｓ，ｕ，ｖがすべて有理数より，｜Ｑ(ｓ)Ｑ(ｔ)｜も有理数である。

（３）∠Ｑ(ｔ)ＯＰ＝α とし， （有理数）とおく。直線ＰＱの傾きをｔと置くと
　　　
であるから，ｔも有理数である。また，
　　　
の各座標もともに有理数である。よって，ｎ個の有理数を
　　　０＜ｕ₁＜ｕ₂＜……＜ｕ_n＜１
として
　　　
と置く。ｔ_kは全て有理数より
　　　
の各座標もともに有理数である。また，２点Ｑ（ｔ_k），Ｑ（ｔ_j）の距離はｔ_k＞ｔ_jとすると
　　　
また
　　　
であるから，２点間の距離は全て有理数である。次にＱ(ｔ_k)をｕ_kを用いて表すことにする。

ｘ座標は
　　　
ｙ座標は
　　　
よって，ｘ座標，ｙ座標ともに有理数である。
また，ｕ_kは正の有理数であるから，ｕ_k＝ｌ_k／ｍ_k　(ｍ_k，ｌ_kは自然数)と置くことができる。
Ｑ(ｔ_k)のｘ座標は
　　　
ｙ座標は
　　　
と置く。同様にＱ(ｔ_j)は
　　　ｘ座標は　　
　　　ｙ座標は　　
と置く。よってベクトル ， をそれぞれ
　　　(ｍ_k²＋ｌ_k²)₂ (ｍ_j²＋ｌ_j²)²倍
すると，両ベクトルとも分母が約分できてｘ座標もｙ座標もともに整数になる。その点をＢ(ｔ_k)，Ｂ(ｔ_j)とおく。
　　　
同様に
　　　
とおく。�Bより上のベクトルを成分で表す。
のｘ座標，ｙ座標を求める。
ｘ座標は
　　　
同様にｙ座標は
　　　
これよりｘ座標，ｙ座標ともに整数である。
同様に もｘ座標，ｙ座標ともに整数である。

次に，２点ＯＢ(ｔ_k)ＯＢ(ｔ_j)の距離を求める。
　　　△ＯＱ(ｔ_k)Ｑ(ｔ_j)∽△ＯＢ(ｔ_k)Ｂ(ｔ_j)
であり，相似比は
　　　(ｍ_k²＋ｌ_k²)² (ｍ_j²＋ｌ_j²)²
より
　　　
よって
　　　
これを用いて
　　　
よって，Ｂ(ｔ_k)，Ｂ(ｔ_j)の両方ともにｘ座標，ｙ座標が整数となる。また２点間の距離 Ｂ(ｔ_k)Ｂ(ｔ_j)も整数となる。
これよりＡ₁，Ａ₂，Ａ₃，Ａ₄，Ａ₅，・・・Ａ_n を作る。
(ｍ_k²＋ｌ_k²)＝Ｍ_kとおき，Ｍ＝Ｍ₁･Ｍ₂･Ｍ₃････Ｍ_nとおく。
とおくと，
　　　
となり整数で表すと
　　　
　 (上の式ではｋ番目のＭkがなくて式がその代わりに入っている。)
このようにして作ったｎ個の点Ａ₁，Ａ₂，Ａ₃，････Ａ_nは全て半径Ｍ上の第一象限にあるから問題の求めるものになっている。