弐）
ｆ＝２のときは、部屋が２部屋よりその部屋をＡ(１)，Ａ(２)，とする。このとき一人が選ぷことの出来る部屋はＡ(１)とＡ(２)の２部屋であるからｎ人全員の選び方は２^ｎ通りある。しかし、この中には全員がＡ(１)に入るときと，Ａ(２)に入るときの２通りあるからその分を引いて，
　　　　ｆ_ｎ(２)＝２^ｎ−２
である。

参）
ｒ＝３のときは、部屋が３部屋よりその部屋をＡ(１)，Ａ(２)，Ａ(３)とする。
　このとき一人が選ぷことの出来る部屋はＡ(１)とＡ(２)とＡ(３)の３部屋であるからｎ人全員の選び方は３^ｎ通りある。しかし、この中には全員が１部屋に入って２部屋が空のときと全員が２部屋に入って１部屋が空のときとがあるから、その分を求めることにする。
　まずは一部屋に入るときを求める。全員がＡ(１)に入るとき，Ａ(２)に入るときＡ(３)に入るときの３通りあるから、その分は３通りである。
　次に、全員が２部屋に入って１部屋が空のときは、部屋の選び方は、Ａ(１)，Ａ(２)，Ａ(３)から２部屋選ぷから_３Ｃ_２通りある。また、２部屋に全員が入る入り方は弐）よりｆ_ｎ(２)＝２^ｎ−２であるから全員が２部屋に入って１部屋が空のときは_３Ｃ_２×ｆ_ｎ(２)通りとなる。よって、その分を引いて
　　　　ｆ_ｎ(３)＝３^ｎ−_３Ｃ_２×ｆ_ｎ(２)−_３Ｃ_１×ｆ_ｎ（１)
　　　　　　＝３^ｎ−３(２^ｎ−２)−３
　　　　　　＝３^ｎ−３・２^ｎ＋６−３
　　　　　　＝３^ｎ−３・２^ｎ＋３
である。

四）
ｒ＝４のとぎは、部屋が４部屋よりその部屋をＡ(１)，Ａ(２)，Ａ(３)，Ａ(４)とする。
　このとき一人が選ぷことの出来る部屋はＡ(１)とＡ(２)とＡ(３)，Ａ(４)の４部屋であるからｎ人全員の選び方は４^ｎ通りある。しかし、この中には全員が１部屋に入って３部屋が空のときと全員が２部屋に入って２部屋が空のとき、全員が３部屋に入って１部屋が空のときとがあるから、その分を求めることにする。まずは一部屋に入るときを求める。
　全員がＡ(１)に入るときと，Ａ(２)に入るとぎＡ(３)に入るときＡ(４)に入るときの４通りあるから、その分は４通りである。
　全員が２部屋に入って２部屋が空のときは、部屋の選び方は、Ａ(１)，Ａ(２)，Ａ(３)，Ａ(４)から２部屋選ぷから_４Ｃ_２通りある。また、２部屋に全員が入る入り方は弐）よりｆ_ｎ(２)＝２^ｎ−２であるから全員が２部屋に入って２部屋が空のときは_４Ｃ_２×ｆ_ｎ(２)通りとなる。
　次に全員が３部屋に入って１部屋が空のときは、部屋の選び方は、Ａ(１)，Ａ(２)，Ａ(３)，Ａ(４)から３部屋選ぶから_４Ｃ_３通りある。また、３部屋に全員が入る入り方は参）よりｆ_ｎ(３)＝３^ｎ−３・２^ｎ＋３であるから、_４Ｃ_３×ｆ_ｎ(３)通りとなる。よって、その分を引いて
　　　　ｆ_ｎ(４)＝４^ｎ−_４Ｃ_３×ｆ_ｎ(３)−_４Ｃ_２×ｆ_ｎ(２)−_４Ｃ_１×ｆ_ｎ(１)
　　　　　　＝４^ｎ−_４Ｃ_３×(３^ｎ−３・２^ｎ＋３)−_４Ｃ_２×(２^ｎ−２)−_４Ｃ_１×１
　　　　　　＝４^ｎ−４×(３^ｎ−３・２^ｎ＋３)−６×(２^ｎ−２)−４×１
　　　　　　＝４^ｎ−４・３^ｎ＋１２・２^ｎ−１２−６×２^ｎ＋１２−４
　　　　　　＝４^ｎ−４・３^ｎ＋６×２^ｎ−４
となる。

五）
ｆ＝５のときは、部屋が５部屋よりその部屋をＡ(１)，Ａ(２)，Ａ(３)，Ａ(４)，Ａ(５)とする。このとき一人が選ぶことの出来る部屋はＡ(１)とＡ(２)とＡ(３)，Ａ(４)，Ａ(５)の５部屋であるからｎ入全員の選び方は５^ｎ通りある。しかし、この中には全員が１部屋に入って４部屋が空のときと全員が２部屋に入って３部屋が空のとき、全員が３部屋に入って２部屋が空のときと全員が４部屋に入って１部屋が空のときがあるから、その分を求めることにする。
　まずは一部屋に入るときを求める。全員がＡ(１)に入るときと，Ａ(２)に入るときＡ(３)に入るときＡ(４)に入るときＡ(５)に入るときの５通りあるから、その分は５通りである。
　次に全員が２部屋に入って３部屋が空のときは、部屋の選び方は、Ａ(１)，Ａ(２)，Ａ(３)，Ａ(４)，Ａ(５)から２部屋選ぶから_５Ｃ_２通りある。また、２部屋に全員が入る入り方は弐）よりｆ_ｎ(２)＝２ｆ^ｎ−２であるから全員が２部屋に入って２部屋が空のときは_５Ｃ_２×ｆ_ｎ(２)通りとなる。
　次に全員が３部屋に入って２部屋が空のときは、部屋の選び方は、Ａ(１)，Ａ(２)，Ａ(３)，Ａ(４)，Ａ(５)から３部屋選ぷから_５Ｃ_３通りある。また、３部屋に全員が入る入り方は参）よりｆ_ｎ(３)＝３^ｎ−３・２^ｎ＋３であるから、_５Ｃ_３×ｆ_ｎ(３)通りとなる。
　次に全員が４部屋に入って１部屋が空のときは、部屋の選び方は、Ａ(１)，Ａ(２)，Ａ(３)，Ａ(４)，Ａ(５)から４部屋選ぷから_５Ｃ_４通りある。また４部屋に全員が入る入り方は四）よりｆ_ｎ(４)＝４^ｎ−４・３^ｎ＋６×２^ｎ−４であるから全員が４部屋に入って１部屋が空のときは_５Ｃ_４×ｆ_ｎ(４)通りとなる。まよって、その分を引いて
　　　　ｆ_ｎ(５)＝５^ｎ−_５Ｃ_４×ｆ_ｎ(４)−_５Ｃ_３×ｆ_ｎ(３)−_５Ｃ_２×ｆ_ｎ(２)−_５Ｃ_１×ｆ_ｎ(１)
　　　　　＝５^ｎ−５(４^ｎ−４・３^ｎ＋６×２^ｎ−４)−１０(３^ｎ−３・２^ｎ＋３)−１０(２^ｎ−２)−５×１
　　　　　＝５^ｎ−５・４^ｎ＋１０・３^ｎ＋１０・２^ｎ−５
となる。

六）
ｒ＝６のときは、部屋が６部屋よりその部屋をＡ(１)，Ａ(２)，Ａ(３)，Ａ(４)，Ａ(５)，Ａ(６)とする。このとき一人が選ぶことの出来る部屋はＡ(１)とＡ(２)とＡ(３)，Ａ(４)，Ａ(５)Ａ(６)の６部屋であるからｎ人全員の選び方は６^ｎ通りある。しかし、この中には全員が１部屋に入って５部屋が空のときと全員が２部屋に入って４部屋が空のとき全員が３部屋に入って３部屋が空のときと全員が４部屋に入って２部屋が空のときと全員が５部屋に入って１部屋が空のときがあるから、その分を求めることにする。
　まずは一部屋に入るときを求める。全員がＡ(１)に入るときと，Ａ(２)に入るときＡ(３)に入るときＡ(４)に入るときＡ(５)に入るときＡ(６)に入るときの６通りあるから、その分は６通りである。
　次に全員が２部屋に入って３部屋が空のときは、部屋の選び方は、Ａ(１)，Ａ(２)，Ａ(３)，Ａ(４)，Ａ(５)Ａ(６)から２部屋選ぷから_６Ｃ_２通りある。また、２部屋に全員が入る入り方は弐）よりｆ_ｎ(２)＝２^ｎ−２であるから全員が２部屋に入って２部屋が空のときは_６Ｃ_２×ｆ_ｎ(２)通りとなる。
　次に全員が３部屋に入って３部屋が空のときは、部屋の選び方は、Ａ(１)，Ａ(２)，Ａ(３)，Ａ(４)，Ａ(５)，Ａ(６)から３部屋選ぶから_６Ｃ_３通りある。また、３部屋に全員が入る入り方は参）よりｆ_ｎ(３)＝３^ｎ−３・２^ｎ＋３であるから、_６Ｃ_３×ｆ_ｎ(３)通りとなる。
　次に全員が４部屋に入って２部屋が空のとぎは、部屋の選び方は、Ａ(１)，Ａ(２)，Ａ(３)，Ａ(４)，Ａ(５)，Ａ(６)から４部屋選ぶから_６Ｃ_４通りある。また４部屋に全員が入る入り方は五）より
　　　　ｆ_ｎ(４)＝４^ｎ−４・３^ｎ＋６×２^ｎ−４
であるから全員が４部屋に入って１部屋が空のときは_６Ｃ_４×ｆ_ｎ(４)通りとなる。
　次に全員が５部屋に入って１部屋が空のときは、部屋の選び方は、Ａ(１)，Ａ(２)，Ａ(３)，Ａ(４)，Ａ(５)，Ａ(６)から５部屋選ぶから_６Ｃ_５通りある。また５部屋に全員が入る入り方は五）より
　　　　ｆ_ｎ(５)＝５^ｎ−５・４^ｎ＋１０・３^ｎ＋１０・２−５
であるから全員が５部屋に入って１部屋が空のときは_６Ｃ_５×ｆ_ｎ(５)通りとなる。よってその分を引いて
　　　　ｆ_ｎ(６)＝６^ｎ−_６Ｃ_５×ｆ_ｎ(５)−_６Ｃ_４×ｆ_ｎ(４)−_６Ｃ_３×ｆ_ｎ(３)−_６Ｃ_２×ｆ_ｎ(２)−_６Ｃ_１×ｆ_ｎ(１)
　　　　　＝６^ｎ−６(５^ｎ−５・４^ｎ＋１０・３^ｎ＋１０・２^ｎ−５)−１５(４^ｎ−４・３^ｎ＋６×２^ｎ−４)
　　　　　　−１５(３^ｎ−３・２^ｎ＋３)−２０(２^ｎ−２)−６×１
　　　　　＝６^ｎ−６・５^ｎ＋１５・４^ｎ−２０・３^ｎ＋１５・２^ｎ−６
となる。

　また、（ｉ）より
　　　ｆ_ｎ(ｒ)＝ｒ^ｎ−_ｒＣ_１・（ｒ−１)^ｎ＋_ｒＣ_２・(ｒ−２)^ｎ＋
　　　　　・・・(−１)^ｒ−２・_ｒＣ_ｒ−３・３^ｎ＋(−１)^ｒ−２・_ｒＣ_ｒ−２・２^ｎ＋(−１)^ｒ−ｌ・_ｒＣ_ｒ−１・１　　(あ)
と仮定する。
上の式が正しいことを数学的帰納法により証明する。

（ｉ）よりｒ＝１，２，３，４，５，６までは(あ)がなりたつ。
ｒ＝ｉ（ｉ＝１，２，３，４，５，６，，，ｋ）までとする。
ｒ＝＝ｋ＋１のとき
ｆ_ｎ(ｋ＋１)＝(ｋ＋１)^ｎ−_ｋ＋１Ｃ_ｋｆ_ｎ(ｋ)＋_ｋ＋１Ｃ_ｋ−１ｆ_ｎ(ｋ−１)−_ｋ＋１Ｃ_ｋ−１ｆ_ｎ(ｋ−１)−
　　・・・−_ｋ＋１Ｃ_２ｆ_ｎ(２)−_ｋ＋１Ｃ_１(１)
とする。
　この式で(ｋ−ｍ)^ｎの係数を求めることにする。
ｆ_ｎ(ｋ)＝ｋ^ｎ−(ｋ−１)^ｎ_ｋＣ_ｋ−１＋(ｋ−２)^ｎ_ｋＣ_ｋ−２−・・・(−１)^ｍ(ｋ−ｍ)^ｎ_ｋＣ_ｋ−ｍ＋・・・
ｆ_ｎ(ｋ−１)＝(ｋ−１)^ｎ−(ｋ−２)^ｎ_ｋ−１Ｃ_ｋ−２＋(ｋ−３)^ｎ_ｋ−１Ｃ_ｋ−３＋・・・＋(−１)^ｍ−１(ｋ−ｍ)^ｎ_ｋ−１Ｃ_ｋ−ｍ＋・・・
ｆ_ｎ(ｋ−２)＝(ｋ−２)^ｎ−(ｋ−３)^ｎ_ｋ−２Ｃ_ｋ−３＋(ｋ−４)^ｎ_ｋ−２Ｃ_ｋ−４＋・・・＋(−１)^ｍ−２(ｋ−ｍ)^ｎ_ｋ−２Ｃ_ｋ−ｍ＋・・・
ｆ_ｎ(ｋ−ｍ＋１)＝(ｋ−ｍ＋１)^ｎ−(ｋ−ｍ)^ｎ_{ｋ−ｍ＋１}Ｃ_ｋ−ｍ＋・・・
ｆ_ｎ(ｋ−ｍ)＝(ｋ−ｍ)^ｎ＋・・・

　よって(ｋ−ｍ)^ｎの係数は

_−ｋ＋１Ｃ_ｋ(−１)^ｍ_ｋＣ_ｋ−ｍ−_ｋ＋１Ｃ_ｋ−１(−１)^ｍ−１_ｋ−１Ｃ_ｋ−ｍ−_ｋ＋１Ｃ_ｋ−２(−１)^ｍ−２_ｋ−２Ｃ_ｋ−ｍ−_ｋ＋１Ｃ_ｋ−３(−１)^ｍ−３_ｋ−３Ｃ_ｋ−ｍ−_ｋ＋１Ｃ_ｋ−３(−１)^ｋ−３_ｋ−３Ｃ_ｋ−ｍ−・・・・・・_ｋ＋１Ｃ_{ｋ−ｍ−１}(−１)^１_{ｋ−ｍ−１}Ｃ_ｋ−ｍ−_ｋ＋１Ｃ_ｋ−ｍ(−１)^０_ｋ−ｍＣ_ｋ−ｍ

となる。

　ここで、_ｋ＋１Ｃ_ｋ−ｉ・_ｋ−ｉＣ_ｋ−ｍを計算してみる。

_ｋ＋１Ｃ_ｋ−ｉ・_ｋ−ｉＣ_ｋ−ｍ＝{(ｋ＋ｉ)！／(ｋ−ｉ)！・(ｉ＋１)！}・{(ｋ−ｉ)！／(ｋ−ｍ)！(ｍ−ｉ)！}
＝{(ｋ＋１)！／(ｋ−ｍ)！}・{１／(ｉ＋１)！(ｍ−ｉ)！}・{(ｍ＋１)！／(ｍ＋１)！}
＝{(ｋ＋１)！／(ｋ−ｍ)！(ｍ＋１)！}・_ｍ＋１Ｃ_ｉ＋１

また

_−ｋ＋１Ｃ_ｋ(−１)^ｍ_ｋＣ_ｋ−ｍ−_ｋ＋１Ｃ_ｋ−１(−１)^ｍ−１_ｋ−１Ｃ_ｋ−ｍ−_ｋ＋１Ｃ_ｋ−２(−１)^ｍ−２_ｋ−２Ｃ_ｋ−ｍ−_ｋ＋１Ｃ_ｋ−３(−１)^ｍ−３_ｋ−３Ｃ_ｋ−ｍ−_ｋ＋１Ｃ_ｋ−３(−１)^ｋ−３_ｋ−３Ｃ_ｋ−ｍ−・・・・・・_ｋ＋１Ｃ_{ｋ−ｍ−１}(−１)^１_{ｋ−ｍ−１}Ｃ_ｋ−ｍ−_ｋ＋１Ｃ_ｋ−ｍ(−１)^０_ｋ−ｍＣ_ｋ−ｍ
(−１)^ｍ＋１{(ｋ＋１)！／(ｋ−ｍ)！(ｍ＋１)！}・_ｍ＋１Ｃ_１＋(−１)^ｍ{(ｋ＋１)！／(ｋ−ｍ)！(ｍ＋１)！}・_ｍ＋１Ｃ_２
(−１)^ｍ−１{(ｋ＋１)！／(ｋ−ｍ)！(ｍ＋１)！}・_ｍ＋１Ｃ_３＋(−１)^ｍ−２{(ｋ＋１)！／(ｋ−ｍ)！(ｍ＋１)！}・_ｍ＋１Ｃ_３
(−１)^２{(ｋ＋１)！／(ｋ−ｍ)！(ｍ＋１)！}・_ｍ＋１Ｃ_ｍ＋(−１)^１{(ｋ＋１)！／(ｋ−ｍ)！(ｍ＋１)！}・_ｍ＋１Ｃ_ｍ＋１
−{(ｋ＋１)１！／(ｋ−ｍ)！(ｍ＋１)！}
＝(−１)^ｍ＋１{(ｋ＋１)！／(ｋ−ｍ)！(ｍ＋１)！}・{_ｍ＋１Ｃ_１−_ｍ＋１Ｃ_２＋_ｍ＋１Ｃ_３−・・・＋(−１)^ｍ−１・_ｍ＋１Ｃ_ｍ＋(−１)_ｍ・_ｍ＋１Ｃ_ｍ＋１}
＝(−１)^ｍ＋１{(ｋ＋１)！／(ｋ−ｍ)！(ｍ＋１)！}・{_−ｍ＋１Ｃ_０＋_ｍ＋１Ｃ_１−_ｍ＋１Ｃ_２＋_ｍ＋１Ｃ_３・・・・・・
＋(−１)^ｍ−１・_ｍ＋１Ｃ_ｍ＋(−１)^ｍ・_ｍ＋１Ｃ_ｍ＋１＋_ｍ＋１Ｃ_０}
＝(−１)^ｍ＋１{(ｋ＋１)！／(ｋ−ｍ)！(ｍ＋１)！}・{(１−１)^ｍ＋１＋１}
＝(−１)^ｍ＋１{(ｋ＋１)！／(ｋ−ｍ)！(ｍ＋１)！}＝(−１)^ｍ＋１_ｋ＋１Ｃ_ｋ−ｍ

よってｒ＝ｋ＋１のときも成り立つから
ｆ_ｎ(ｒ)＝ｒ^ｎ−_ｒＣ_１・(ｒ−１)^ｎ＋_ｒＣ_２・(ｒ−２)^ｎ＋
　　・・・(−１)^ｒ−２・_ｒＣ_ｒ−３・３^ｎ＋(−１)^ｒ−２・_ｒＣ_ｒ−２・２^ｎ＋(−１)^ｒ−１・_ｒＣ_ｒ−１・１　　(あ)　である。