図を使うことの有効性について

　問題を考えるとき，グラフを利用するとか図に描いてみる方法はとても大切です。今回も，条件として与えられたものを，数式を変形して解こうとしたところ，イメージが浮かばなくて同じところを　堂々巡りしていました。ところが，グラフを描いたところ，何処が分かりにくかったかよく分かりまし　た。その点についてまとめます。

【間】a．b，cは実数で a≧0，b≧0とする。 　　　p(x)＝ax2＋bx＋c，　q(x)＝cx2＋bx＋a とおく。−1≦x≦1をみたすすべてのxに対して｜p(x)｜≦1が成り立つとき 　　　−1≦x≦1 をみたすすぺべてのxに対して｜q(x)｜≦2が成り立つことを示せ。 (1995年，京都大学・理系学部・後期日程)

　この問題は条件が多すぎるため本質を見落としてしまう受験生が多かったと思われます。ここで大切なことは，
　　　−1≦f(1)≦1．−1≦f(0)≦1，−1≦f(−1)≦1
より
　　　−1≦a＋b＋c≦1，−1≦c≦1．−1≦a−b＋c≦1
という条件が作られます。たったこれだけで証明ができます。
q(x)＝cx²＋bx＋aを微分してq'(x)＝2cx＋b＝0から軸はx＝−b/2cこれをx₁とおく。

（�@）x₁≦−1またはx₁≧1のとき

q(x)は−1≦x≦1で単調増加または単調減少より−1≦x≦1をみたすすべてのxに対して｜q(x)｜≦1が成り立つから−1≦x≦1をみたすすべてのxに対して｜q(x)｜≦2が成り立つ。(図より明らか)

頂点を(x₁，y₁)とおく。このときmin{｜1−x₁｜,｜x¹−1｜}≦1より
　　　min{｜x₁−(a＋b＋c)｜,｜x₁−(a−b＋c)｜}≦｜c｜≦1
また．max{｜a＋b＋c｜,｜a−b＋c｜}≦1より
　　　max{｜c｜＋｜a＋b＋c｜,｜c｜＋｜a−b＋c｜}≦2
よって−1≦x≦1をみたすすべてのxに対して｜q(x)｜≦2が成り立つ

私の勘違いについて

｜p(x)｜≦1，a≧0，b≧0より
　　　−1≦p(−1)＝a−b＋c≦1，−1≦p(0)＝c≦1．−1≦p(1)＝a＋b＋c≦1
この条件からq(x)の頂点の座標をαとおくと，α＝−b/2cより
　　　
から矛盾を導き出そうとしたが，うまくいきませんでした。
やはり，この問題は図形に頼るのが一番でしょう。