，を平面上のベクトル，Pを2行2列の行列とする。このときとなるをと表わす。

　　　でである。

　このときの写像 f については，，が成り立つ。

　f を1次変換と呼び，行列Pは1次変換f を表わす行列である。

　f によって原点は原点に移る。今，点A，Bはf によってそれぞれA'，B'に移るとしよう。

　直線AB上の任意の点Xについては， (tは実数) が成り立つ。f によってXはX'に移るとすると，よりとなる。

　従って，f によって2点A，Bを通る直線はA'，B'を通る直線に移る。更に点C，DはそれぞれC'，D'に移るとし，とする。

　また，，

　　　，

　　　∴　

　よって平行な関係にあるベクトルは，f によって移ったあとでも，それぞれまた平行な関係を保つベクトルとなっている。ここから発展して平行な関係にある線分の長さの比はf によって変わらないことがわかる。

　また，同一直線上の2つの線分の比も変わらない。

　，を2辺とする三角形の周上及び内部の点Xについてはとなる。

　このとき，となり，であるからX'は△OA'B'の周上及び内部に存在する。

　一般にf によって領域は領域へと移されていく。

　△OABの面積をS，△OA'B'の面積をS'とし，f を表わす行列はとする。

　このとき，が成り立つ。

　この理論を推し進めてゆくと図形W，Vがそれぞれ図形W'，V'に移るときWとVの面積の比は，W'とV'の面積の比に等しい。このことからf によって面積の比は変わらないといえる。

　次にが成り立つとき，f によっては，は，はにそれぞれ移るとする。

　，によりとなる。

　f によってベクトルを表わす1次式は変わらないことがわかる。3つの点O，A，Bは一直線上にはないものとし，座標はO(0，0)，A(a₁，a₂)，B(b₁，b₂)とする。f によってAは(1，0)に，Bは(0，1)に移るとき，f を表わす行列Pはどのような形のものであろうか。

　より

　より

　よって･･･�@

　O，A，Bは同一直線上にないので，a₁b₂−a₂b₁≠0，故にには逆行列が存在するので�@の両辺に右からをかける。　∴　

　よって同一直線上にない3点O，A、B（Oは原点）をO，(1，0)，(0，1)に移す f が存在する。

　以上より1次変換 f の重要性質をまとめてみよう。

(1)1次変換で変わらないもの

　�@平行な2つの線分の比

　�A同一直線上の2つの線分の比

　�B2つの図形の面積比

　�C2直線が平行である性質及び交わる性質

　�Dベクトルを表わす1次式

(2)1次変換で変わるもの

　�@線分の長さ

　�A図形の面積

　�B2直線のなす角度

　�C点の座標

(3)Oを原点とすると，同一直線上にない3点O，A，BをO，(1，0)，(0，1)に移す1次変換f が存在する。