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3_5 変身多角形の性質

 このようにして求められた“変身多角形”には共通の重要性質があり,そのことについて調べてみよう。正n角形の“変身n角形”は,(元図)の基底がであるときはAk

  

となるような“変身”をする。(この場合1≦kn−1)。

 また(元図)の基底がであるときはとなる。

 まず(元図)の基底がの場合から考えてゆくことにしよう。(新図)の各点は既に求められているが,Akの(新図)での座標はAk(xkyk)としよう。このとき

    となる。

 そこでAk(xkyk)とAn-k(xn-kyn-k)との関係を考えてみたい。 

   sin(nk)θ= sin(nθ−kθ) = sin(2π−kθ)= sin(−kθ)=−sinkθ

 同様にcos(nk)θ=coskθ (∵)であることを利用すると

  

  

となる。従ってAk(xkyk)に対してAnk(xnkynk)はAnk(ykxk)となっている。

 つまりAkAnkは直線yxに関して対称な点となっている。

 nが偶数のときk=1,2,3,・・・,に対してnk=n−1,n−2,・・・,が対応し,A1An−1A2An−2,・・・,とがそれぞれyxに関して対称な点となり,のときはAkAnkとは同じ点となり直線yx上の点となる。

 またnが奇数の場合は,A1An−1A2An−2,・・・,yxに関して対称な点となる。

 以上より“変身n角形”の図はyxに関して対称な図であることがわかる。

 次に(元図)の基底がである場合について考えることにしよう。(新図)での点AkでこれをAk(xkyk)とおく。

 このときである。

  sin(nk−1)θ= sin(nθ−(k+1)θ) =−sin(k+1)θに注意しつつAnk(xnkynk)について調べてみよう。

   

 またA1+k(x1+ky1+k)については

   

となっている。

 以上よりx1+k=ynky1+k=xnkとなりAnk(xnkynk)に対してA1+k(x1+ky1+k)はA1+k(ynkxnk)にとなり,AnkA1+kとは直線yxに関して対称である。

 前と同様な考察により基底がのときの“変身n角形”も直線yxに関して対称な図となる。

 またnが奇数のとき,1+k=nkよりは整数となり,AnkA1+kとは同じ点となり,これは直線yx上の点となる。つまりnが奇数のときは直線y=x上にある。


 以上の性質は(元図)の正n角形を調べて導く事もできる。例えばnが偶数で基底がとする場合,線分A1An−1A2An−2,・・・,は互いに平行であり,それらの中点は直線A0の上にある。 1次変換fによってA0をつなぐ直線は直線y=xに移され,A1An−1の中点はこの直線上に移される。このことから(新図)がこの直線に関して対称であることを導く事ができる。また基底がである場合,(新図)においてはの関係があり,これは図を描く際に役立つ性質といえる。

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