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4_3 べきと根軸

 
 方べきの定理
定点Aから定円に引いた2直線が,定円と交わる点を
それぞれP,Q,R,Sとするとき,
    AP・AQ=AR・AS
が成り立つ。

 初等幾何の代表的な定理であり,三角形APRと三角形ASQが相似であることを利用すると簡単に証明できるが,この定理の本質は,

  定点Aを通る直線が定円と異なる2点P,Qで交わるとき,AP・AQ=一定

であるということである。実際,2点R,Sを点Pから円に引いた接線の接点Tに限りなく近づけていけば,AP・AQ=AT2 となることから予想される(証明は接弦定理による)。では,その一定数AT2を求めてみよう。

 定点A(x0y0),定円 f(xy)=(xa)2+(yb)2r2=0(円の中心はC(ab)とする)とおくと,

   AT2=AC2−CT2=(x0−a)2+(y0−b)2−r2f(x0y0)

となる。

Note)

 方べきの定理は,円の内部の定点についても成立する(証明は三角形の相似関係より)。このときのAP・AQの値は次のように計算する。

 円の方程式を f(xy)=x2y2axbyc=0 とおき,定直線を とする。

 xx0tpyy0tqを円の方程式に代入して,

   (x0tp)2+(y0tq)2a(x0tp)+b(y0tq)+c=0

   (p2q2)t2+(2px0+2qy0apbq)t+(x02y02ax0by0c)=0

 この2次方程式の2解が,円と直線の交点P,Qであるから,解と係数の関係より,

    AP・AQ=x02y02ax0by0cf(x0y0)=(一定)

となる。このとき,この一定数を定点の定円に関するベキという。

 これから,f(x0y0)の値を考えれば,点Aが円の外部にあるとき, AP・AQ>0であり,円周上の点であるとき,AP・AQ=0,円の内部にあるときは,AP・AQ<0である。すなわち,AP,AQは有向線分であり,円の内部に点Aがあるとき,APとAQは逆向きとなる。

 さて次に,2円

   C1f(xy)=x2y2axbyc=0・・・@
   C2g(xy)=x2y2pxqyr=0・・・A

に対してベキの値が等しくなるような(接線の長さが等しい)点A(xy)の軌跡を考えると,

   f(xy)=g(xy)

であるから,@−Aから作られる直線の方程式に一致する。

 この直線を2円の根軸という。

 このように,解析幾何の観点では,@×k−A×h によって作られる

   kf(xy)−hg(xy)=0・・・(*)

は2円の交点を通る曲線群(円束)とみるのではなく,f(xy):g(xy)=hk より,ベキの比(接線の長さの平方の比)が一定である点の軌跡と考えればよい。

 この軌跡は,k=hのとき,直線(根軸)となり,khのとき,円を表す。

 そして,2円@,Aが交わるとき,2円の交点を通る曲線群に一致するわけである。このように点の軌跡としてみれば,2円の交点の存在の有無に関わらず,(*)は意味をもってくるわけである。

Note)

 2円が交わっているとき,根軸は,2円の交線となるが,交わらないときは,次のように求める。

 2円C1,C2の両方に交わるような円S1を描き,C1とS1,C2とS1の根軸の交点を求める。次に,同様に,2円C1,C2の両方に交わるようなS1とは異なる円S2を描き,根軸の交点を求める。こうして求めた2つの交点を結ぶ直線が,C1とC2の根軸となる。

 だが,この考え方は問題の論旨をすりかえてしまったものである。もともとは,2円の交点を通る直線は,その方程式の差をとることで求まるものが,2円が交わらないときにも,どうしてでてくるのかということであった。曲線群としてみたときの問題は依然解決されてはいない。2円が接する場合は,交点は1つであるから,その点を通る直線は無数に存在するが,なぜそのうちの1本だけに限定されるか,また,2円が交わらないときの直線が何を表しているのか,疑問は残るのである。

 そこで,別の観点からこのことを考察してみよう。

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