新科目『数学基礎』の教材

小笠原　節
北海道富川高等学校
平成14年11月

概要

　本校では，平成15年度から第1学年で，新科目「数学基礎」を（商業科全員）履修します．（教科書は数件出版のもの）
　数学基礎の関する教材では，
　『問題の理解はやさしいが，解法がそうはやさしくない』というものがふさわしいと考えております．
　今回は，両替問題をまとめてみました．

【両替問題と支払い問題】

　100円硬貨の両替は，10円硬貨5枚と50円硬貨1枚か10円硬貨10枚への両替が一般的でしょう．
　しかし，まだまだ他に両替の方法があります．
　それを全部数えてしまおうという教材を作り，使用しています．
　コンピュータ向けの教材でもあり，プログラムを組んで解いてみるのもおもしろいと思います．
　母関数の考えを使えば，一般的に解くことができます．
　今回は，Mathemediaを使用して母関数の考えをつかったものもやってみました．
　解法は，参考文献の本によります．こんな解法は，私にはちょっと思い浮かびません．
　　　(1+x+x²+x³+…+x⁹⁹+x¹⁰⁰)
が1円硬貨の支払いを担当する（？）式で，
　　　(1+x⁵+x¹⁰+x¹⁵+…+x⁹⁵+x¹⁰⁰)
が5円硬貨の支払いを担当する式，　　　(1+x¹⁰+x²⁰+x³⁰+…+x⁹⁰+x¹⁰⁰)
が10円硬貨の支払いを担当する式です．これらを展開したときのx¹⁰⁰の係数が両替の場合の数ということになります．
　Mathemediaの入力では，100円の両替にしぼり，1円の担当分は，
　　　(1+x+x²+x³+…+x⁹⁹+x¹⁰⁰)
ではなく，はんぱができない5円刻みで考えて，
　　　(1+x⁵+x¹⁰+x¹⁵+…+x⁹⁵+x¹⁰⁰)
と入力しています．
　これは
　　　

の式を考えれば解消できますが，Mathemediaではうまく計算できませんでした．
　問題としては，両替の他に，『支払い問題』も考えられます．手持ちの金額で，お釣りなしで，何とおりの支払いができるかという問題です．
　こういう問題を生徒は，やみくもに解いていきます
　問題の理解がやさしいので簡単だと思ってしまうようですが，事前に「数える」のではなく，「数えきる」むずかしさを強調します．
　しかし，それでもデタラメにかきくだしていく生徒が多いのには驚きです．
　「順序よく数えることの迫力」は，数学の根底にあるものだと思うのですが，こういう方法論を新教科「数学基礎」で前面に出していきたいものです．

このレポートで使用されている資料を，ダウンロードすることができます．

支払い方法が何とおりあるか考える　　「sheet_1.PDF（34KB）」
100円を両替する（問題）　　「sheet_2.PDF（44KB）」
100円を両替する（解答）　　「sheet_3.PDF（45KB）」
Mathmediaによる出力　　「sheet_4.PDF（5KB）」
『100円の両替は何通りあるか』を十進BASICで解くプログラム　　「program.pdf（18KB）」

参考文献

［1］Ｇ．ポリア他『組み合せ論入門』近代科学社
［2］数学ソフト『Mathemedia』