問題1 | 以下の各設問に答えよ。ただし問題中の数はすべて負でないものとし,「負でない」という言葉をすべて省略する。したがって,例えば「整数」と書いてあれば「負でない整数」を意味するものと考えること。また解答中においても,「負でない」という言葉を省略してよい。 |
(1) | ![]() 〔※この設問(1)のみ,計算や説明等を書かなくてもよい。〕 次に正の整数pの倍数の下二桁に,00,01,02,…,99のすべてが現れるかどうかを調べよう。(ただし,00と0,01と1などを同一視する。)そのために, |
(2) | pが![]() ![]() |
(3) | pが(2)の2数![]() ![]() al-ak=100m (mは正の整数) と表わせることを用い,a1,a2,a3,…,a100の中に下二桁が等しいものがあると仮定すると矛盾が生じることを示すことにより,この期待が正しいことを証明せよ。 |
(4) | 99以下の正の整数で,その倍数の下二桁に00,01,02,…,99のすべてが現れるものはいくつあるか。 〔※答えだけでなく,簡単でよいから計算も示すこと。〕 |
問題2 | 正三角形ABCに外接する円の劣弧BC上の点Pを右図のように与える。 |
(1) | PCの延長上に点DをPB=CDとなるようにとり,図に記入せよ。(free handでよい) | ![]() |
(2) | AP=ADを証明せよ。 | |
(3) | PA=PB+PCを証明せよ。 | |
(4) | 正三角形EFGの外部に点Tを下図のようにとる。△EFTをEを中心として正の方向に60°回転させたとき,Tの移る点をSとする。 TE=TF+TGならば,T,G,Sは同じ直線上にあることを証明せよ。 | ![]() |
問題3 | 第1段階で一辺の長さが1の正三角形ABCの中央に正四面体を立てて見る。ただし,K,L,Mは辺AC,AB,BCの中点とする。 |
![]() | (1) | 左図の立体の体積を求めよ。 |
さらに,この「正三角形の上に,正四面体を立てる。」操作を,第1段階で完成した6個の正三角形に適用したものを第2段階とする。
![]() | (2) | 左図の立体の体積を求めよ。 |
同様に,この第2段階でできた正三角形に正四面体を立てる操作を繰り返してできたものを第3段階とする。
![]() | (3) | 左図の立体の体積を求めよ。 |
![]() 初期段階 | (4) | 左図の様に1辺の長さが2の立方体ABCDEFGHの内部に,正四面体BDGEがある。 この正四面体BDGEの4つの正三角形について,同様に正四面体を立てていく。この操作を3回実施して完成した第4段階の立体の体積は,初期段階の体積の何倍になるか。また,第n段階になったときの立体の体積を予想せよ。 |
問題4 | a,bを整数として,a=a+b![]() N(α)=α2−3b2 と定義する。例えば,N(3+2 ![]() いま,2つの数の集合 A={α|α=a+b ![]() B={α|αはAの要素で かつ N(α)=1} について,次の問に答えよ。 |
(1) | Aの2つの要素α=a+b![]() ![]() N(α・β)=N(α)・N(β) が成り立つことを示せ。 |
(2) | Uの要素αに対し,α2 および 1/α がUに属していることを示せ。 |
(3) | 3n2+1が平方数(自然数の平方である数)となる自然数nが無数にあることを示せ。 |
問題5 | f(x)はすべての実数で定義された関数で,任意の実数x,yに対して,![]() を満たしている。 このとき,次の各問に答えよ。 |
(1) | f(0)の値を求めよ。 |
(2) | x>0のとき,f(-x)<f(0)<f(x)を示せ。 |
(3) | 任意の実数xに対して,f(x)>0を示せ。 |
(4) | x<yのとき,f(x)<f(y)を示せ。 |