第15回
北海道高等学校数学コンテスト

問　　　題

問題１	以下の各設問に答えよ。ただし問題中の数はすべて負でないものとし，「負でない」という言葉をすべて省略する。したがって，例えば「整数」と書いてあれば「負でない整数」を意味するものと考えること。また解答中においても，「負でない」という言葉を省略してよい。

(1)	5の倍数の下一桁（一の位）を調べると，表�Tのように，0と5しか現れない。一方，3の倍数の下一桁を調べると，表�Uのように，一桁の整数（0，1，2，･･･，9）がすべて表れる。この表�Uの例のように，一桁の整数でその倍数の下一桁に0，1，2，…，9のすべてが現れるものを全部答えよ。 　〔※この設問(1)のみ，計算や説明等を書かなくてもよい。〕 　次に正の整数ｐの倍数の下二桁に，00，01，02，…，99のすべてが現れるかどうかを調べよう。（ただし，00と0，01と1などを同一視する。）そのために， 　　　ａｎ＝ｎｐ　　（ｎは正の整数） と定める。例えば，ｐ=9であるとき， 　　　ａ1=9，ａ2=18，ａ3=27，ａ4=36，…である。
(2)	ｐがまたはの倍数のとき，ａｎの下二桁には，00，01，02，・・・，99のすべては現れない。空欄に当てはまる2数とその理由を述べよ。（ただし，空欄に当てはまる数は100,200など無数にあるので，最も本質的と思われる2つを答えること。また，理由は厳密な証明でなくてもよい。）
(3)	ｐが(2)の2数，のいずれの倍数でもないときは，ａｎの下二桁に00，01，02，・・・，99のすべてが現れるのではないかと期待できる。ｋ＜ｌを満たす正の整数ｋ，ｌについてａｋとａｌの下二桁が等しいとき， 　　　ａｌ-ａｋ=100ｍ　　（ｍは正の整数） と表わせることを用い，ａ1，ａ2，ａ3，…，ａ100の中に下二桁が等しいものがあると仮定すると矛盾が生じることを示すことにより，この期待が正しいことを証明せよ。
(4)	99以下の正の整数で，その倍数の下二桁に00，01，02，…，99のすべてが現れるものはいくつあるか。 　〔※答えだけでなく，簡単でよいから計算も示すこと。〕

問題２	正三角形ＡＢＣに外接する円の劣弧ＢＣ上の点Ｐを右図のように与える。

(1)	ＰＣの延長上に点ＤをＰＢ＝ＣＤとなるようにとり，図に記入せよ。（free handでよい）
(2)	ＡＰ＝ＡＤを証明せよ。
(3)	ＰＡ＝ＰＢ＋ＰＣを証明せよ。
(4)	正三角形ＥＦＧの外部に点Ｔを下図のようにとる。△ＥＦＴをＥを中心として正の方向に60°回転させたとき，Ｔの移る点をＳとする。 　ＴＥ＝ＴＦ＋ＴＧならば，Ｔ，Ｇ，Ｓは同じ直線上にあることを証明せよ。

問題３	第1段階で一辺の長さが1の正三角形ＡＢＣの中央に正四面体を立てて見る。ただし，Ｋ，Ｌ，Ｍは辺ＡＣ，ＡＢ，ＢＣの中点とする。

第1段階

(1)

左図の立体の体積を求めよ。

　さらに，この「正三角形の上に，正四面体を立てる。」操作を，第1段階で完成した6個の正三角形に適用したものを第2段階とする。

第2段階

(2)

左図の立体の体積を求めよ。

　同様に，この第2段階でできた正三角形に正四面体を立てる操作を繰り返してできたものを第3段階とする。

第3段階

(3)

左図の立体の体積を求めよ。

初期段階

(4)

左図の様に1辺の長さが2の立方体ＡＢＣＤＥＦＧＨの内部に，正四面体ＢＤＧＥがある。 　この正四面体ＢＤＧＥの4つの正三角形について，同様に正四面体を立てていく。この操作を3回実施して完成した第4段階の立体の体積は，初期段階の体積の何倍になるか。また，第ｎ段階になったときの立体の体積を予想せよ。

第1段階　　第2段階
第3段階　　第4段階

問題４	ａ，ｂを整数として，ａ＝ａ＋ｂに対して，Ｎ(α)を 　　　Ｎ(α)＝α2−3ｂ2 と定義する。例えば，Ｎ(3＋2)＝32−3･22＝−3 　いま，2つの数の集合 　　　Ａ＝｛α｜α＝ａ＋ｂ　(ａ，ｂは整数)｝ 　　　Ｂ＝｛α｜αはＡの要素で　かつ　Ｎ(α)＝1｝ について，次の問に答えよ。

(1)	Ａの2つの要素α＝ａ＋ｂ，β＝ｃ＋ｄに対して， 　　　Ｎ(α･β)＝Ｎ(α)･Ｎ(β) が成り立つことを示せ。
(2)	Ｕの要素αに対し，α2　および　1/α　がＵに属していることを示せ。
(3)	3ｎ2＋1が平方数（自然数の平方である数）となる自然数ｎが無数にあることを示せ。

問題５	f(ｘ)はすべての実数で定義された関数で，任意の実数ｘ，ｙに対して， 　　　 を満たしている。 　このとき，次の各問に答えよ。