（１）どんな変形を実施しても面積一定であるので、初期の円を半径１の円として考えると円の面積Ｓ＝π，円の周囲Ｌ＝２π（ⅰ）この円が正方形に変形するとき
右図のように、正方形の１辺の長さをｘとすると正方形の面積＝円の面積より
ｘ2＝π
正方形の周囲をＡとすると
A2＝１６π …①
（ⅱ）この円が直角二等辺三角形に変形するとき右図のように、各辺を
の比に従って、
とすると 直角二等辺三角形の面積＝ｙ2/２＝π
直角二等辺三角形の周囲をＢとすると
…②（ⅲ）この円が正六角形に変形するとき右図のように、正六角形の1辺の長さをｚとすると
正六角形の面積＝
正六角形の周囲をＣとすると
…③①②③より、π＝３，
として、おおよその値を求めるとＬ2＝36，Ａ2＝48，Ｂ2＝69.9，Ｃ2＝41.6
従ってＬ＜C＜Ａ＜Ｂの大小の順番となり
円の周囲＜正六角形＜正方形＜直角二等辺三角形
（２）右図のように横ｙ，縦ｘの長方形について考える。長方形の面積＝ｘ×ｙ＝ｋ（定数）
長方形の周囲の長さ＝２(ｘ＋ｙ)＝２ｘ＋２ｙ
２ｘ＞０、２ｙ＞０より、『相加平均 相乗平均』より
変形によって面積は不変なので、ｘ×ｙ＝ｋより、
等号成立は２ｘ＝２ｙのとき、ｘ＝ｙのとき正方形のとき周囲の長さは最小となる。
縦：横＝１：１
（３）右図の様に縦ｘ 、横ｙの２つの隣接した長方形がある。この隣接する２個の長方形の周囲と境界の和Ｌとすると、Ｌ＝３ｘ＋４ｙ
３ｘ＞０、４ｙ＞０より『相加平均≧相乗平均』から
長方形の面積は変形によって変化しないので、ｘｙ＝ｋ（定数）
等号成立は３ｘ＝４ｙつまり、ｘ：ｙ＝４：３のとき
隣接する２個の長方形の周囲と境界の和Ｌは最小となり最小値は
縦と横の比は４：３
（４）変形前のそれぞれの円の半径を１とする。右図のように、１つの弓型図形の半径をｒ(θ)とおく１つの弓型の面積＝
…①この１つの弓型図形の面積は変形によって変化しないので、初期の円の半径は１より、
面積はπ…②
①②より
…③③へ90°，120°，180°を代入すると
…④
…⑤
…⑥下図のように隣接する２つの弓型の図形の境界線を
とする。余弦定理より
…⑨
２つの隣接する中心角θの弓型図形の周囲と境界線の和をＬ(θ)とすると
…⑩⑩へ90°，120°，180°を代入すると
π≒3として両辺を２乗して大小を比較すると
となりθ＝120°のときが周囲と境界線の和が最小となる。