■基本事項 |
学年/科目/単元 | 2学年/数学U/微分 |
学校名/作成者/作成年月日 | 中央大学杉並高等学校/高尾 弘/2003.11.12 |
実施形態/実施上の留意事項 | プレゼンテーション/特になし |
GRPSバージョン/ファイルダウンロード | 6.23/dim3_1.gps(5KB),dim3_2.gps(5KB) |
■題材の内容 |
「極値をもつ3次関数のグラフ」すなわちf(x)=ax3+bx2+cx+d(b2-3ac>0)である3次関数のグラフの性質について調べる。 |
■学習の流れ |
【展開1】 | |||
◎はじめに3次関数f(x)=ax3+cxについて考察する。 f'(x)=3ax2+cより f(x)が極値をもつ -3ac>0 ⇔ ac<0 3次関数f(x)=ax3+cx(ac<0)・・・@の基本性質 T.f(x)は奇関数である。(y=f(x)のグラフは原点に関して対称) U.f(x)は極値をもつ。 f(x)=ax3+cx=x(ax2+c)=0より (点Aのx座標) f'(x)=3ax2+c=0より (点Cのx座標) よって
|
|||
【展開2】 | |||
y=f(x)・・・@の上の点G( t,f(t) )における接線をAとする。Aの式は y=f'(t)(x-t)+f(t) =(3at2+c)(x-t)+at3+ct =(3at2+c)x-2at3・・・A @、Aの交点をHとするとき、y=ax3+cx,y=(3at2+c)x-2at3より ax3+cx-(3at2x+cx-2at3)=0 a(x3-3t2x+2t3)=0 a(x-t)2(x+2t)=0 x=t,-2t(Hのx座標)
|
|||
【展開3】 | |||
つぎに、@の上の点G(t,f(t))と原点に関して対称な点I(-t,f(-t))における接線をBとする。Bの式は y=f'(-t)(x+t)+f(-t) =(3at2+c)(x+t)-at3-ct =(3at2+c)x+2at3・・・B(BとAは平行である。) @、Bの交点をJとするとき、 y=ax3+cx,y=(3at2+c)x+2at3より ax3+cx-(3at2x+cx+2at3)=0 a(x3-3t2x-2t3)=0 a(x+t)2(x-2t)=0 x=-t,2t(Jのx座標) y軸に平行な線分JK,HL,GM,INとy軸上に線分QRをひくと
なぜならば直線AとBは平行であり、点J,G,I,Hのx座標はそれぞれ2t,t,-t,-2tであるから。
|
|||
【展開4】 | |||
つぎに、原点を通りAに平行な直線をCとする。 y=(3at2+c)x・・・C @、Cの交点をTとするとき、y=ax3+cx,y=(3at2+c)xより ax3+cx-(3at2x+cx)=0 a(x3-3t2x)=0 ax(x2-3t2)=0 (Tのx座標) また、Cと線分GMの交点Sのx座標はtであるから
以上より、
|
|||
【展開5】 | |||
特に、直線Aがx軸に平行なとき、平行四辺形はすべて長方形になる。 | |||
【展開6】 | |||
◎3次関数f(x)=ax3+bx2+cx+dについて考察する。 f'(x)=3ax2+2bx+cよりb2-3ac>0のときf(x)は極値もつ。 3次関数f(x)=ax3+bx2+cx+d(b2-3ac>0)・・・Dにたいして f”(x)=6ax+2b=0よりx=-b/3a y=f(x)の変曲点が原点にくるようにグラフを平行移動すると、 ここでb2-3ac>0であるから より ・・・Eはf(x)=ax3+cx(ac<0)・・・@型である。
|
|||
【展開7】 | |||
以上から、3次関数f(x)=ax3+bx2+cx+d(b2-3ac>0)の変曲点をとすると
|
■参考ページ |