f'(x)=3ax2+cより
f(x)が極値をもつ -3ac＞0 ⇔ ac＜0
3次関数f(x)=ax3+cx（ac＜0）・・・①の基本性質
Ⅰ．f(x)は奇関数である。（y=f(x)のグラフは原点に関して対称）
Ⅱ．f(x)は極値をもつ。
f(x)=ax3+cx=x(ax2+c)=0より
（点Aのx座標）f'(x)=3ax2+c=0より
（点Cのx座標）よって
 である。・・・・重要性質Ⅰ
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y=f'(t)(x-t)+f(t)
=(3at2+c)(x-t)+at3+ct
=(3at2+c)x-2at3・・・②
①、②の交点をHとするとき、y=ax3+cx，y=(3at2+c)x-2at3より
ax3+cx-(3at2x+cx-2at3)=0
a(x3-3t2x+2t3)=0
a(x-t)2(x+2t)=0
x=t，-2t（Hのx座標）
y=f'(-t)(x+t)+f(-t)
=(3at2+c)(x+t)-at3-ct
=(3at2+c)x+2at3・・・③（③と②は平行である。）
①、③の交点をJとするとき、
y=ax3+cx，y=(3at2+c)x+2at3より
ax3+cx-(3at2x+cx+2at3)=0
a(x3-3t2x-2t3)=0
a(x+t)2(x-2t)=0
x=-t，2t（Jのx座標）
y軸に平行な線分JK，HL，GM，INとy軸上に線分QRをひくと
| 平行四辺形JKHLの中に4つの合同な平行四辺形JKGM、MGRQ、QRNI、INHLができる。・・・・重要性質Ⅱ |
なぜならば直線②と③は平行であり、点J，G，I，Hのx座標はそれぞれ2t，t，-t，-2tであるから。
y=(3at2+c)x・・・④
①、④の交点をＴとするとき、y=ax3+cx，y=(3at2+c)xより
ax3+cx-(3at2x+cx)=0
a(x3-3t2x)=0
ax(x2-3t2)=0
（Ｔのx座標）また、④と線分GMの交点Ｓのx座標はtであるから
 ・・・重要性質Ⅲ
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以上より、
3次関数f(x)=ax3+cx（ac＜0）・・・①と３直線②、③、④と５線分JK、GM、QR、IN、HLによって、８つの合同な平行四辺形ができる。また、④と線分GMの交点、④と①の交点をそれぞれS、Tとすると である。（重要性質のまとめ）
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f'(x)=3ax2+2bx+cよりb2-3ac＞0のときf(x)は極値もつ。
3次関数f(x)=ax3+bx2+cx+d（b2-3ac＞0）・・・⑤にたいして
f”(x)=6ax+2b=0よりx=-b/3a
y=f(x)の変曲点
が原点にくるようにグラフを平行移動すると、
ここでb2-3ac＞0であるから
より
・・・⑥はf(x)=ax3+cx（ac＜0）・・・①型である。
とすると
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y=f(x)のグラフについて 基本性質 Ⅰ．y=f(x)のグラフはPに関して点対称である。 Ⅱ．f(x)は極値をもつ。
重要性質 |
