極値をもつ3次関数のグラフ

■基本事項
学年/科目/単元 2学年/数学U/微分
学校名/作成者/作成年月日 中央大学杉並高等学校/高尾 弘/2003.11.12
実施形態/実施上の留意事項 プレゼンテーション/特になし
GRPSバージョン/ファイルダウンロード 6.23/dim3_1.gps(5KB)dim3_2.gps(5KB)
■題材の内容

「極値をもつ3次関数のグラフ」すなわちf(x)=ax3+bx2+cx+d(b2-3ac>0)である3次関数のグラフの性質について調べる。

■学習の流れ

【展開1】
◎はじめに3次関数f(x)=ax3+cxについて考察する。
f'(x)=3ax2+cより
 f(x)が極値をもつ -3ac>0 ⇔ ac<0
3次関数f(x)=ax3+cx(ac<0)・・・@の基本性質
T.f(x)は奇関数である。(y=f(x)のグラフは原点に関して対称)
U.f(x)は極値をもつ。
f(x)=ax3+cx=x(ax2+c)=0より
 (点Aのx座標)
f'(x)=3ax2+c=0より
 (点Cのx座標)
よって
 

である。・・・・重要性質T

【展開2】
y=f(x)・・・@の上の点G( t,f(t) )における接線をAとする。Aの式は
 y=f'(t)(x-t)+f(t)
 =(3at2+c)(x-t)+at3+ct
 =(3at2+c)x-2at3・・・A
@、Aの交点をHとするとき、y=ax3+cx,y=(3at2+c)x-2at3より
 ax3+cx-(3at2x+cx-2at3)=0
 a(x3-3t2x+2t3)=0
 a(x-t)2(x+2t)=0
  x=t,-2t(Hのx座標)

【展開3】
つぎに、@の上の点G(t,f(t))と原点に関して対称な点I(-t,f(-t))における接線をBとする。Bの式は
 y=f'(-t)(x+t)+f(-t)
 =(3at2+c)(x+t)-at3-ct
 =(3at2+c)x+2at3・・・B(BとAは平行である。)
@、Bの交点をJとするとき、
 y=ax3+cx,y=(3at2+c)x+2at3より
 ax3+cx-(3at2x+cx+2at3)=0
 a(x3-3t2x-2t3)=0
 a(x+t)2(x-2t)=0
  x=-t,2t(Jのx座標)
y軸に平行な線分JK,HL,GM,INとy軸上に線分QRをひくと

平行四辺形JKHLの中に4つの合同な平行四辺形JKGM、MGRQ、QRNI、INHLができる。・・・・重要性質U

なぜならば直線AとBは平行であり、点J,G,I,Hのx座標はそれぞれ2t,t,-t,-2tであるから。

【展開4】
つぎに、原点を通りAに平行な直線をCとする。
y=(3at2+c)x・・・C
@、Cの交点をTとするとき、y=ax3+cx,y=(3at2+c)xより
 ax3+cx-(3at2x+cx)=0
 a(x3-3t2x)=0
 ax(x2-3t2)=0
 (Tのx座標)
また、Cと線分GMの交点Sのx座標はtであるから

・・・重要性質V

以上より、

3次関数f(x)=ax3+cx(ac<0)・・・@と3直線A、B、Cと5線分JK、GM、QR、IN、HLによって、8つの合同な平行四辺形ができる。また、Cと線分GMの交点、Cと@の交点をそれぞれS、Tとするとである。(重要性質のまとめ)

【展開5】
特に、直線Aがx軸に平行なとき、平行四辺形はすべて長方形になる。
【展開6】
◎3次関数f(x)=ax3+bx2+cx+dについて考察する。
f'(x)=3ax2+2bx+cよりb2-3ac>0のときf(x)は極値もつ。
3次関数f(x)=ax3+bx2+cx+d(b2-3ac>0)・・・Dにたいして
f”(x)=6ax+2b=0よりx=-b/3a
y=f(x)の変曲点が原点にくるようにグラフを平行移動すると、
 
 ここでb2-3ac>0であるから
より
・・・Eはf(x)=ax3+cx(ac<0)・・・@型である。

【展開7】
以上から、3次関数f(x)=ax3+bx2+cx+d(b2-3ac>0)の変曲点をとすると

y=f(x)のグラフについて
基本性質
T.y=f(x)のグラフはPに関して点対称である。
U.f(x)は極値をもつ。

重要性質
T.8つの合同な平行四辺形をもつ。
U.

■参考ページ