曲線の通過領域

■基本事項
学年／教科／単元 ２学年／数学２／図形と式
学校名／作成者／作成年月日 大阪教育大学附属高等学校池田校舎／友田勝久／2004.2.18
実施形態／実施上の留意事項 プレゼンテーション／パワーポイントを併用
GRPSバージョン／ファイルダウンロード 6.22／domain01.exe（自己解凍ファイル516KB）
■題材の内容
a がすべての実数値をとって動くときの，曲線C ： y = x2 + ax + a2 の通過領域
■題材のねらい
【教材のねらいとGRAPES】
パラメータの2次式で与えられている曲線群の通過領域は，判別式の利用で求めることができるが，式の計算だけでは生徒にとって抽象的でわかりにくい。パラメータを動かしたときのグラフを見ることで，曲線と領域の関係がはっきりと理解できる。
【パワーポイントを使う意味】
GRAPESを使うといっても，授業の中のすべてで使うわけではないし，授業のどの部分でどのように扱えばよいかということについても，それなりの経験をつまないとなかなかうまくいきません。そこで，どのように使うのがよいかという私なりの提案を，パワーポイントという形で表現してみました。また，GRAPESを使うということは教室にコンピュータがあるのだから，先生が黒板で説明する代わりにこのパワーポイント教材をそのまま使って授業をすることができます。
【授業のイメージ】
普通教室にコンピュータが１台あり，ビデオプロジェクターなどでそれを提示することができる環境を想定しています。さらには黒板を併用して使えると申し分ありません（プロジェクターの黒板投影も結構便利です）。先生はパワーポイントのスライドに解説を加えながら授業を進めます。グラフ（区間）を動かして考える必要のあるところでは，クリックひとつでGRAPESを起動できるように設定してあります。GRAPESを起動し生徒たちといっしょにグラフ（区間）を動かしてみてください。なお，生徒達には添付のワードファイルを印刷して配布します。生徒はプレゼンテーションを見ながら，プリントにメモしていきます。
【生徒の既習事項】
２次関数のグラフが描けること。
実数係数の２次方程式の解と判別式の関係を理解していること。
【動作環境についての確認事項】
当然のことですが，GRAPESとパワーポイントが動作する必要があります。
また，GRAPESのファイルについての関連付けがなされている必要があります。
（GRAPESを起動して，メニューから［オプション］→［ファイルの関連付け］を実行します）
■学習の流れ
【展開１】　曲線群を描いてみよう
曲線群そのものを描きます。
まず，具体的ないくつかの場合について，生徒に手元のプリントにグラフを描かせます。
次に，GRAPESを起動して，パラメータaを連続的に変化させて，曲線がどのように変化するかを実際に描いて見ます。曲線は残像によって曲線群を残していきます。
なお，以後のスライドでもすべて，図をクリックすることで，その図に関してGRAPESが起動するようになっています。
【展開２】　曲線群の通過領域の考察
曲線群は平面上をすべて覆うのではなく，一定の領域を通ることがわかる。
ここでは，曲線群が通る領域の中の点と，曲線群が通らない部分の中にある点について，注目します。そして，この２点について，ある点を曲線群が通るというのはどういうことなのか，通らないというのはどういうことなのかを，この後で調べていきます。
【展開３】　ある点を通る曲線を求める。
ある点を曲線Cが通るというのはどういうことなのかを，調べます。
ここでは，
　「ある点を通るグラフを求める　⇔　方程式の解を求める」
という関係を説明しています。
【展開４】　ある点を曲線が通らない条件を求める。
ある点を通る曲線C存在しないための条件を調べます。
　「ある点を通るグラフが存在しない　⇔　方程式の実数解が存在しない」
ということを説明しています。
【展開５】　曲線群の通過領域を求める。
今までの説明から，
　「ある点を曲線群が通る　⇔　方程式の実数解が存在する」
という関係がわかっているので，それを用いて通過領域を求めます。
【おまけ】　結果の確認
求めた結果をGRAPESを利用して確認します。考えて求めた結果とグラフによるシミュレーションの結果が一致してはじめて，納得した気持ちのなるのではないでしょうか。
この教材全体にもいえることですが，パワーポイントの図だけでもある程度理解できるようになっていますが，GRAPESを起動して実際にグラフを動かしてみるといろんな発見があります。
展開１にあるような手作業，GRAPESによるシミュレーション，パワーポイントによるまとめの説明。この３つをセットにして教室で使ってください。
■留意点・工夫点
  • 授業時には，圧縮ファイルに同梱されている生徒用プリントを配布し，生徒が自分で作業しながら授業を聞くように仕向けてください。
  • このプレゼンテーションは，20〜30分程度を想定しています。残った時間は，練習問題をするなど，知識の定着を図ってください。
  • パワーポイントはアニメーション機能を利用しています。授業に先立って，動きをよくつかんでおいてください。