法線の本数

■基本事項
学年/科目/単元 2学年/数学U/微分
学校名/作成者/作成年月日 札幌新川高校/早苗雅史/2004.3.21
実施形態/実施上の留意事項 プレゼンテーション/特になし
GRPSバージョン/ファイルダウンロード 6.32/housen.gps(5KB)
■題材の内容

直線 y=3x+1/2 上の点 (p,q) から放物線 y=x2 の法線は何本引けるか調べよ。

■題材のねらい

直線上の点から放物線への法線が何本引けるかをイメージ化させ,方程式との関連を考察させる。

■学習の流れ

【展開1】
まずどんな法線が引けるかを考えて見ましょう。直線上のいろいろな点に対して,放物線へ何本引けるかイメージできますか。案外,難しいことが分かりますね。
【展開2】
最大3本引ける場合があります。しかし,直線上の点をどんどん下に下げていくと,2本しか引けない場合や1本しか引けない場合が存在します。
【展開3】
直線上の点を自動で移動させ,その様子を見て見ましょう。3本から2本,そして1本へと法線が変化していく様子がよく分かります。
【展開4】
さてこの法線の本数をどのように場合わけすればよいでしょうか。点(p, 3p+1/2)から放物線 y=x2 に引いた接点を (t, t2)とすると,法線の方程式は
  y-t2=-1/2t・(x-t)  ∴ y=-x/2t+t2+1/2
この法線が点(p, 3p+1/2)を通ることから,代入して
  2t3-6pt2-p=0
の方程式の解の個数と同じになります。実際に関数y=2t3-6pt2-pを同時に描画して,x軸との交点の様子を考察してみましょう。
【展開5】
先ほどと同様に自動的に変数を変え,今度は3次関数とx軸との交点の様子を見てみます。どうですか,法線の引かされるx座標とと3次関数との交点のx座標が一致しているのが見て取れます。つまりこの問題は3次関数の解の個数を求める問題と同じであったことが分かります。

■留意点・工夫点

  • この問題は板書でイメージさせるのはかなり困難な問題です。接線が何本引けるかのイメージはまだいいのですが,法線となるとイメージしづらくなります。まず法線が3本引ける点と2本引ける点,更には1本しか引けない点のイメージがかなり難解です。パラメータpを変化させ,直線上の点を変化させると3本の法線のうち2本が次第に重なり合い1本になっていく様子がよくわかります。
  • この問題は3次方程式 2x3−6ax−a=0 の解の個数を求める問題と同じになります。この方程式の描く3次関数のグラフを同時に示す事で,関連性がイメージできます。法線は接線と違ってイメージしづらい点を,このプレゼンが鮮やかに補ってくれます。