法線の本数

直線 y=3x+1/2 上の点 (p，q) から放物線 y＝x2 の法線は何本引けるか調べよ。

■題材のねらい

直線上の点から放物線への法線が何本引けるかをイメージ化させ，方程式との関連を考察させる。

■学習の流れ

【展開１】
まずどんな法線が引けるかを考えて見ましょう。直線上のいろいろな点に対して，放物線へ何本引けるかイメージできますか。案外，難しいことが分かりますね。
【展開２】
最大３本引ける場合があります。しかし，直線上の点をどんどん下に下げていくと，２本しか引けない場合や１本しか引けない場合が存在します。
【展開３】
直線上の点を自動で移動させ，その様子を見て見ましょう。３本から２本，そして１本へと法線が変化していく様子がよく分かります。
【展開４】
さてこの法線の本数をどのように場合わけすればよいでしょうか。点(p, 3p+1/2)から放物線 y=x2 に引いた接点を (t, t2)とすると，法線の方程式は 　　y-t2=-1/2t・(x-t)　　∴　y=-x/2t+t2+1/2 この法線が点(p, 3p+1/2)を通ることから，代入して 　　2t3-6pt2-p=0 の方程式の解の個数と同じになります。実際に関数y=2t3-6pt2-pを同時に描画して，x軸との交点の様子を考察してみましょう。
【展開５】
先ほどと同様に自動的に変数を変え，今度は3次関数とx軸との交点の様子を見てみます。どうですか，法線の引かされるx座標とと3次関数との交点のx座標が一致しているのが見て取れます。つまりこの問題は3次関数の解の個数を求める問題と同じであったことが分かります。

■留意点・工夫点

この問題は板書でイメージさせるのはかなり困難な問題です。接線が何本引けるかのイメージはまだいいのですが，法線となるとイメージしづらくなります。まず法線が3本引ける点と2本引ける点，更には1本しか引けない点のイメージがかなり難解です。パラメータpを変化させ，直線上の点を変化させると3本の法線のうち2本が次第に重なり合い1本になっていく様子がよくわかります。 この問題は3次方程式 2x3−6ax−a＝0 の解の個数を求める問題と同じになります。この方程式の描く3次関数のグラフを同時に示す事で，関連性がイメージできます。法線は接線と違ってイメージしづらい点を，このプレゼンが鮮やかに補ってくれます。