方程式の解とグラフ

■基本事項
学年/科目/単元 2学年/数学U/微分
学校名/作成者/作成年月日 札幌新川高校/早苗雅史/2004.3.19
実施形態/実施上の留意事項 プレゼンテーション/特になし
GRPSバージョン/ファイルダウンロード 6.31/k_kosuu.gps(3KB)
■題材の内容

曲線y=x3−6x2+5x と直線 y=mx とが相異なる3点で交わるためのmの条件を求めよ。

■題材のねらい

3次曲線と直線の交点が3個あるための条件を求める問題であるが,一組の答えはすぐにイメージできる。しかしもう一組の答えはイメージしずらい。ズーム機能を用いることでイメージ化させる。

■学習の流れ

【展開1】
パラメータmを変化させて交点が3個できる場合をイメージして見ましょう。そんなに難しくはありませんね。しかし3個持つパターンが2パターンあるのがイメージできますか?
【展開2】
実はかなり局所的に観察しないといけないんです。パラメータmの値をどんどん大きくしてみましょう。すると少し分かりづらいのですが,交点を3個持つ場合がわかるでしょうか。
【展開3】
少し分かりづらいので,その部分を拡大してみましょう。
【展開4】
更に拡大して見ましょう。どうです確かに交点が3個あるのが分かりますね。
【展開5】
曲線y=x3−6x2+5x と直線 y=mxを連立させると,まず交点の一つ原点が出てきます。残る2つは判別式を取ることで求めることができますが,mの範囲が2個出てくる理由がイメージできます。

■留意点・工夫点

  • この問題の答えは −4<m<5,5<m と2つに分かれます。一見するとどうして2つに分かれるのかイメージしづらいところがあります。原点からの接線1本と原点における接線の2本を補助線としてパラメータを変化させ,m=5 近辺の様子をZOOMさせてみましょう。確かに交点が3つあるのが見て取れます。
  • Grapeseファイルを作成するときに展開ごとにスクリプトを組むことで,ZOOMさせる展開が非常にスムーズに進みます。