区間における2次関数の最大・最小

■基本事項
学年/教科/単元 1学年/数学1/2次関数
学校名/作成者/作成年月日 大阪教育大学附属高等学校池田校舎/友田勝久/2003.11.3
実施形態/実施上の留意事項 プレゼンテーション/パワーポイントを併用
GRPSバージョン/ファイルダウンロード 6.22/minmax02.exe(自己解凍ファイル992KB)
■題材の内容

区間 t x t+1 における2次関数 f (x) = x2 - 4x + 5 の最小値を求めよ。

■題材のねらい

【教材のねらいとGRAPES】
区間が移動するときの最大最小の問題は,2次関数の最大最小についての発展的な問題として,ポピュラーなものですが,パラメータによって区間が動くことから,生徒には非常にむつかしいようです。しかし,GRAPESを使えば区間を自由に動かすことができるから,この問題の難しいところ――場合分けをどうすればよいのか――に対する見通しがすぐに立ちます。
【パワーポイントを使う意味】
GRAPESを使うといっても,授業の中のすべてで使うわけではないし,授業のどの部分でどのように扱えばよいかということについても,それなりの経験をつまないとなかなかうまくいきません。そこで,どのように使うのがよいかという私なりの提案を,パワーポイントという形で表現してみました。また,GRAPESを使うということは教室にコンピュータがあるのだから,先生が黒板で説明する代わりにこのパワーポイント教材をそのまま使って授業をすることができます。
【授業のイメージ】
普通教室にコンピュータが1台あり,ビデオプロジェクターなどでそれを提示することができる環境を想定しています。さらには黒板を併用して使えると申し分ありません(プロジェクターの黒板投影も結構便利です)。先生はパワーポイントのスライドに解説を加えながら授業を進めます。グラフ(区間)を動かして考える必要のあるところでは,クリックひとつでGRAPESを起動できるように設定してあります。GRAPESを起動し生徒たちといっしょにグラフ(区間)を動かしてみてください。なお,生徒達には添付のワードファイルを印刷して配布します。生徒はプレゼンテーションを見ながら,プリントにメモしていきます。
【生徒の既習事項】
2次関数のグラフが描けること。
定まった範囲における2次関数の最大最小について,理解していること。
【動作環境についての確認事項】
当然のことですが,GRAPESとパワーポイントが動作する必要があります。
また,GRAPESのファイルについての関連付けがなされている必要があります。
(GRAPESを起動して,メニューから[オプション]→[ファイルの関連付け]を実行します)

■学習の流れ

【展開1】 既習知識の確認
区間における2次関数の最小値についての確認をします。2次関数と区間の位置によって,最小値を与えるx座標ががどのようになっているかを確認します。
【展開2】 関数のグラフと区間の幅
与えられた関数のグラフを描くとともに,区間t x t+1 が,幅1の区間であることを確認し,ひとつの例としてt = 0 の場合を図示します。
【展開3】 具体的なひとつの場合における最小値
t = 0 の場合をにおける最小値がどのように求まるかを,解説します。次ページ以降では,ここでの考え方を踏まえて,生徒たちが自分で考えることになります。
【展開4】 いくつかの具体的な場合における最小値
t = 0, 1, 3/2, 3 の各場合における最小値を求めます。ページ右側のグラフをクリックするとGRAPESが起動し,この図と同じものが表示されます。先生と生徒たちとの対話の中でパラメータ t を動かして,生徒と一緒に解答を見つけます。
なお,この問に対する解答は用意していません,生徒たちが(先生との対話を通じて)自分たちで考えてくれることを想定しています。必要であれば,先生が補ってください。

【展開5】 一般の場合における最小値
前ページでいくつかの典型的な場合における最小値を求めているので,ここではどのように場合分けをすればよいのかを考えます。
グラフをクリックするとGRAPESが起動し,この図と同じものが表示されます。先生と生徒たちとの対話の中でパラメータ t を動かして,生徒と一緒に解答を見つけます。ここでのGRAPESファイルは,前ページのものと違い,どの点で最小値をとるかを表示するようにしています。

【おまけ】 まとめと解答
前ページまでの考察で(先生と一緒に)答えを出していることと思います。ですから,ここから後の2ページは蛇足です。ただ,最後のまとめをもう一度確認する必要があるとき,解答を印刷して配りたいとき,自習に使っていて解答を確認したいとき,などのためにこの2ページを用意しました。

■留意点・工夫点