区間における２次関数の最大・最小

区間 t ≦ x ≦ t+1 における２次関数 f (x) = x2 - 4x + 5 の最小値を求めよ。

■題材のねらい

【教材のねらいとGRAPES】

区間が移動するときの最大最小の問題は，２次関数の最大最小についての発展的な問題として，ポピュラーなものですが，パラメータによって区間が動くことから，生徒には非常にむつかしいようです。しかし，GRAPESを使えば区間を自由に動かすことができるから，この問題の難しいところ――場合分けをどうすればよいのか――に対する見通しがすぐに立ちます。

【パワーポイントを使う意味】

GRAPESを使うといっても，授業の中のすべてで使うわけではないし，授業のどの部分でどのように扱えばよいかということについても，それなりの経験をつまないとなかなかうまくいきません。そこで，どのように使うのがよいかという私なりの提案を，パワーポイントという形で表現してみました。また，GRAPESを使うということは教室にコンピュータがあるのだから，先生が黒板で説明する代わりにこのパワーポイント教材をそのまま使って授業をすることができます。

【授業のイメージ】

普通教室にコンピュータが１台あり，ビデオプロジェクターなどでそれを提示することができる環境を想定しています。さらには黒板を併用して使えると申し分ありません（プロジェクターの黒板投影も結構便利です）。先生はパワーポイントのスライドに解説を加えながら授業を進めます。グラフ（区間）を動かして考える必要のあるところでは，クリックひとつでGRAPESを起動できるように設定してあります。GRAPESを起動し生徒たちといっしょにグラフ（区間）を動かしてみてください。なお，生徒達には添付のワードファイルを印刷して配布します。生徒はプレゼンテーションを見ながら，プリントにメモしていきます。

【生徒の既習事項】

２次関数のグラフが描けること。 定まった範囲における２次関数の最大最小について，理解していること。

【動作環境についての確認事項】

当然のことですが，GRAPESとパワーポイントが動作する必要があります。 また，GRAPESのファイルについての関連付けがなされている必要があります。 （GRAPESを起動して，メニューから［オプション］→［ファイルの関連付け］を実行します）

■学習の流れ

【展開１】　既習知識の確認
区間における２次関数の最小値についての確認をします。２次関数と区間の位置によって，最小値を与えるx座標ががどのようになっているかを確認します。
【展開２】　関数のグラフと区間の幅
与えられた関数のグラフを描くとともに，区間t ≦ x ≦ t+1 が，幅１の区間であることを確認し，ひとつの例としてt = 0 の場合を図示します。
【展開３】　具体的なひとつの場合における最小値
t = 0 の場合をにおける最小値がどのように求まるかを，解説します。次ページ以降では，ここでの考え方を踏まえて，生徒たちが自分で考えることになります。
【展開４】　いくつかの具体的な場合における最小値
t = 0, 1, 3/2, 3 の各場合における最小値を求めます。ページ右側のグラフをクリックするとGRAPESが起動し，この図と同じものが表示されます。先生と生徒たちとの対話の中でパラメータ t を動かして，生徒と一緒に解答を見つけます。 なお，この問に対する解答は用意していません，生徒たちが（先生との対話を通じて）自分たちで考えてくれることを想定しています。必要であれば，先生が補ってください。
【展開５】　一般の場合における最小値
前ページでいくつかの典型的な場合における最小値を求めているので，ここではどのように場合分けをすればよいのかを考えます。 グラフをクリックするとGRAPESが起動し，この図と同じものが表示されます。先生と生徒たちとの対話の中でパラメータ t を動かして，生徒と一緒に解答を見つけます。ここでのGRAPESファイルは，前ページのものと違い，どの点で最小値をとるかを表示するようにしています。
【おまけ】　まとめと解答
前ページまでの考察で（先生と一緒に）答えを出していることと思います。ですから，ここから後の２ページは蛇足です。ただ，最後のまとめをもう一度確認する必要があるとき，解答を印刷して配りたいとき，自習に使っていて解答を確認したいとき，などのためにこの２ページを用意しました。

■留意点・工夫点

• 授業時には，圧縮ファイルに同梱されている生徒用プリントを配布し，生徒がメモを取りながら授業を聞くように仕向けてください。
• このプレゼンテーションは，15〜25分程度を想定しています。残った時間は，練習問題をするなど，知識の定着を図ってください。
• パワーポイントはアニメーション機能を利用しています。授業に先立って，動きをよくつかんでおいてください。
• これと同じ関数について，最大値に関する教材も，圧縮ファイルに同梱されています。