x＋y＝u，xy＝vとおくと，x2＋y2＝1よりu2－2v＝1
x＋y＝u，xy＝vとおくと，x2＋y2≦1よりu2－2v≦1･･･①
と一つの領域しか得られませんが，コンピュ－タの表す図形はもう一つあります。その実態は何でしょうか。問題に使われている式は円の方程式だけなのです。
x＋y＝u，xy＝vとおくとx，yはt2－ut＋v＝0の解であるから
D=u2－4v≧0･･･②
先ほどの円を動かした領域①とこの点(x＋y，xy)の表す領域②で求める解が得られるのです。
| ■基本事項 |
| 学年／科目／単元 | ２学年／数学Ⅱ／図形と方程式 |
| 学校名／作成者／作成年月日 | 札幌新川高校／早苗雅史／2003.11.3 |
| 実施形態／実施上の留意事項 | プレゼンテーション／特になし |
| GRPSバージョン／ファイルダウンロード | 6.22／ryouiki_f.gps(4KB) |
| ■題材の内容 |
| 点(x，y)が原点を中心とした半径1の円の周上及び内部を動くとき，点(x＋y，xy)の動く領域を図示せよ。 |
| ■学習の流れ |
| 【展開１】 | |
| まず題意を把握するために，具体的に円周上の点を動かしながら点(x＋y，xy)をプロットしていくことでイメ－ジを膨らませてみましょう。円内の点P(x，y)に対して(x＋y，xy)を対応させたのが，矢印の先の点Qです。いくつか試してみましょう。 | |
| 【展開２】 | |
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普通は図形の周上を動かすと答えが得られますね。では円周上の点を変換させてみましょう。すると一つの放物線らしきものが姿を現しました。この曲線の式は次の様にして求められます。 x＋y＝u，xy＝vとおくと，x2＋y2＝1よりu2－2v＝1 |
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| 【展開３】 | |
| 実は求める領域はこれだけではないのです。先ほどは円周上の点だけを変換しましたが，円の内部の点も変換してみましょう。どのようにしたら変換できるでしょう。円の半径をどんどん小さくして，先ほどと同様に円周上の点を変換させていけばよいのです。 | |
| 【展開４】 | |
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すると現れたのは二つの図形にはさまれた領域です。一つは先ほどの放物線です。領域でいうと x＋y＝u，xy＝vとおくと，x2＋y2≦1よりu2－2v≦1･･･① と一つの領域しか得られませんが，コンピュ－タの表す図形はもう一つあります。その実態は何でしょうか。問題に使われている式は円の方程式だけなのです。 |
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| 【展開５】 | |
| 実は点(x＋y，xy)のとりうる領域は，「円の周上及び内部」という条件に関係なく，ある一定の図形を描くのです。実際に平面全体を一定の間隔で(x＋y，xy)の点へ全て動かしてみよう。 | |
| 【展開６】 | |
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”実数x，y”という条件だけで，既に点(x＋y，xy)はある領域を表していたのです。この“実数”という条件は式の上では， x＋y＝u，xy＝vとおくとx，yはt2－ut＋v＝0の解であるから D=u2－4v≧0･･･② 先ほどの円を動かした領域①とこの点(x＋y，xy)の表す領域②で求める解が得られるのです。 |
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| ■留意点・工夫点 |
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| ■参考ページ |