複素数の反転

　複素平面上において，任意のｚ＝ｘ＋ｙｉに対して
　　　　ｚ → １/ｚ
を対応させる変換を考えてみましょう．この変換は相似変換と実軸での対称変換を組み合わせたもので，「反転」と呼ばれています．具体的に直線上のを動かして，様子を見ることにしましょう．

　原点を通らない直線上の点を動かすと，次の様に原点を通る円に変換されます．

　それでは直線をどんどん原点に近づけてみましょう．原点に近づけば近づくほど円の半径は大きくなり，やがて直線になるのがわかります．

　変換　ｆ：ｚ→１/ｚ　の図形的解釈は
　　　　
より，点P(z) に対してOPを1/|z| 倍して，実軸に関して対称移動したものと考えられます．

　またこの変換は，複素数平面上の点をリーマン球面上の点に対応させることで １：１ に対応します．右の図のようにＮ極を通る直線とリーマン球面上の点Ａを結んで複素平面上に投影し，その点をＡ'とします．
　　　　Ａ → Ｎ のとき，Ａ' → ∞
　また，
　　　　Ａ → Ｓ のとき，Ａ' → Ｓ
　つまり，Ｎ極が無限円点にＳ極が不動点に対応すると考えるのです．
　さきほどの原点を通る直線の場合，半径∞の円と考えれば，すべての直線は円に変換される，と考えることもできます．

《参考資料》