いたるところ微分不可能な関数

 いたるところ微分不可能な関数というものを考えてみましょう.
次のような関数を考えます.
   
そしてp(x)の合成関数として,次のような関数を定義します.
   
さらにこの関数の無限個の和をとります.
   
これは折れ線となる関数の無限個の和となります.

 これは著名な「解析概論」の著者 高木貞治が考えた“高木関数”と呼ばれるものです.
 例えば真中の点0.5における点Aの近くでは,右側では傾き1の直線を,左側では傾き−1の直線を無限に加えることになります.つまり右微係数は+∞,左微係数は−∞となります.
 またそれ以外の任意の点Bでは傾き1と−1の直線が交互に繰り返し交わっています.つまり振動することになります.