アポロニウスの円の中心と半径

2点A，Bからの距離の比がm：n（m≠n）である点の軌跡は，ABをm2：n2に外分する点Cを中心とし，半径である円である．

Proof)

複素数平面上で軌跡を考える．
A(α)，B(β)とし，動点をP(z)とする．
AP：BP=m：nより，である．
両辺を平方して，式変形する．
　　　
これより，P(z)は，中心，半径である円を表す．
よって，求める軌跡は円であり，その中心は線分ABをm²：n²の比に外分する点である．
　次に，AB=k，m＞nとすると，であるから，
　　　
円の半径をrとすると，
　　　
のときも同様であるから，ゆえに，である．　Q.E.D

ex)A(2，1)，B(-4，-2)に対して，AP：PB=1：2を満たす点Pの軌跡を求めよ．　(センター試験追試)

解) 中心(x，y)はABを1：4の比に外分する点より，
　　　
　　　∴　C(4，2)
また，中心rは，
　　　より，
以上より，求める軌跡は，中心(4，2)で半径の円である．

　なお，点 からアポロニュースの円に引いた直線と円との交点をP，Qとすると，方べきの定理より，
　　　AP・AQ=（一定）
である．その値は，点Aから円に引いた接線の接点をTとするとき，AT²に等しい．よって，
　　　AP・AQ=AT²=AC²-r²
ここで，アポロニウスの円の性質より，r²=AC・BC であるから，
　　　AP・AQ=AC²-AC・BC=AC(AC-BC)=AC・AB
これは，円と円外の点が与えられたとき，その円をアポロニウスの円として生成する元の線分ABが求められることを意味する．また，その比の値は，直線ACが円と交わる２点をP₀，Q₀とするとき，
　　　AQ₀+AP₀：AQ₀-AP₀
で与えられる．

ひと言

アポロニウスの円〜定義を少し広げる試み〜　愛知県立高浜高等学校　山崎博司