確率の順列・組合せの中でも「重複組合せ」は教える側にも教わる側にもやっかいな問題ではある。公式としては、
異なるｎ個から同じものを選ぶことを許して、ｒ個選ぶ場合の数は、  |
で済んで（済ませて）しまうが、具体例での説明からこの公式への結びつきがしにくく、演習問題になると使い方さえ分からなくなってしまう。
教科書の扱いもしたがってずいぶん苦労しているようで今回の指導要領では（研究問題として載せてあり）扱われなくなってしまった。しかし、傍用問題集などをみると触れているものも多く、場合の数の求め方の基本が「要領いい数えあげ」という結論になるなら組合せの応用として重複組合せはもちろん出題されるわけである。ではその実際の指導法はというとやはり難しい。そこで、教科書で扱われていたものも含めてすこし考察してみよう。
まず、昭和５０年台に教科書で扱われていた解法を示そう。
順序組分配法
| ｅx)１から９までの整数から同じ数字をとることを許して３つの整数を選ぶ方法は何通りか。 |
たとえば１，１，３を選んだ場合を(１,１,３)と組で表す。このとき、(a,b,c)をa≦b≦cを満たすように選ぶと、その組の総数が求めるものである。この３つのa，b，cが異なる数であれば単純な組合せとなるが、同じ数になる場合もあることが問題を複雑にしている。それを次のように考える。
選んだ組の３つの要素にそれぞれ(０,１,２)を加える。
(１,１,３) →(１,２,５)， (２,２,２)→(２,３,４)， (３,８,９)→(３,９,11)
と対応させると求める組の総数は対応させた組の総数に等しくなる。加えてできた組の要素は、１から１１までの異なる３つの整数となるからその組の総数は、
11
で与えられる。これを一般化して、重複組合せの公式を作ればよい。
ただこの方法は、同じものを含む３つの数を異なる３つの数に変換する過程で，(０,１,２)という順序組を作って説明しているが、その順序組の考えだされた背景が分かりにくく、なぜ加える数が(０,１,２)でなければならないのか（実際には連続する整数ならなんであってもいいのだが）が疑問を生む要因となり、理解への障害となるのである。
(a,b,c) ＋ (０,１,２) ⇒ (a,b＋１,c＋２)
１≦a≦b≦c≦９ ＋ ０＜１＜２ ⇒ １≦a＜b＋１＜c＋２≦１１
ということになろうが、確かにこれは分かりにくい。
次に、この順序組による方法が昭和６０年台に入ると次のような視覚的な方法に変わっていった。
丸棒分配法
| ｅx)３つの文字a，b，cから同じ文字を選ぶことを許して５個選ぶ方法は何通りか。 |
教科書では、これを棒｜と丸○を使い、取り出した文字を次のように対応させる。
| abbcc ⇒ ○｜○○｜○○ aaaaa ⇒ ○○○○○｜｜ bbbbc ⇒ ｜○○○○｜○ |
棒｜を「しきり」と考えて、その左右で
(aの個数)｜(bの個数)｜(cの個数)
を対応させるわけである。これから逆に
○○○｜○○｜ ⇒ aaabb
と読み取れることになる。そこでこの並べ方の総数が求めるものとなる。
５つの○と２つの｜の並べ方は（同じものを含む順列より）
である。もう少し具体例で考えると、
| ｅx）６個の林檎を３人に分配する方法は何通りか。ただし１個も貰わない人がいてもよいとする。 |
解) ３人をA，B，Cとし、この３人が貰うべき林檎にA，B，Cとマジックで書き込んでいくことを考えれば、上述と同じ問題になる。６個の林檎○と(３－１)個の棒｜の並べ方を考えればよいから、
8C2＝２８(通り)
Ｎｏｔｅ）
なお、前述の順序組方式でこの問題を考えれば、
A ⇒ １，B ⇒ ２，C ⇒ ３
と３人を数字に対応させ、要素６個の組
に１，２，３の数字を小さい順に入れていけばよい｡
(１,１,１,２,２,３) ⇒ Aが３個，Bが２個，Cが１個
(１,１,１,１,３,３) ⇒ Aが４個，Bが０個，Cが２個
となる。さらに、(０,１,２,３,４,５)を加えて、要素を異なる数に変えて、
(１,２,４,５,６,８) ⇒ (１,１,２,２,２,３)
と逆に読み取ればよい。よってその総数は、１から８までの整数から６個選べばよいから、
8C6＝２８(通り)
となる。
この方法は、あまりに計算技術に走りすぎていた前者の順序組法にたいして、より視覚に訴えるように図式化したことに解法としてのうまさがあろう。ただ、無理がある視覚化であることはいなめなく、ごっちゃにした並べ方には感覚的な抵抗感も覚えるのである。もう少し、具体的にいうと、
①「林檎○」と「仕切り｜」のように本来異質であるものを混ぜて並べることの感覚的な違和感。
合理的な発想だと思う。全部いっしょくたにして考えてしまうわけだから思い切った発想からずいぶん計算を単純化できることになる。しかし、林檎と仕切りが順列上に同居する様は発想としては飛躍のしすぎだと思うし馴染めない。
②各々に分配する個数を考えるのに１つも貰わなくてよい場合を考えること。
分配する以上は、最低は１個と考えるのが自然であろうが、「求めやすく」するために０個以上で設定することの無理を解説の背景に感じ取ってしまい、貰わない人間がでてくることの不公平感がでてくる。
以上のことを踏まえて次の方法について述べていこう。
仕切り分配法
| ｅx)６個の林檎を３人に分配する方法は何通りか。 |
もちろんこの場合は、どの人も最低１個は貰えるとする。まず、林檎を６個をテーブルにでも並べて置く。次に林檎をA，B，C３人が左から適当な個数を取っていく。その取っていく林檎と林檎の境目を「仕切り」で区切ると、５つの仕切りができる。この仕切りから、２つを選ぶとその前後で３つの組に分割されるからそれを左から、A，B，Cが貰う個数とすればよい。
∨ ▼ ∨ ∨ ▼
○ ○ ○ ○ ○ ○ ⇒ AABBBC
∴ ５つの仕切りから２つの仕切りを選ぶ方法は、
5C2＝１０(通り)
この仕切りによる数え方は、１個以上について成立するものである。では１個も貰わない人がいてもいいという場合の処理はどうすればいいだろう。仕切り法では次のように考える。
要は「１個も貰わない人がいる」場合を、「１個以上は貰う」条件に作り変えてやればよい。そのために別に林檎を３個用意し、もともとの６個と合わせておき、計９個の中から前述の仕切り法を使えば各人１個以上は貰えることになる。そうして分配した後で、加えた１個を返して貰うと０個以上という条件に戻る。
∨ ∨ ∨ ∨ ▼ ∨ ∨ ▼
○○○○○○＋○○○ ⇒ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
３個戻して ↓
▼ ▼
○ ○ ○ ○ ○ ○
A(4) B(2) C(0)
∴ ８個の仕切りから２つの仕切りを選べばよいから、
8C2＝２８(通り)
この考え方を応用すれば、２個以上を基準にするなら、最初に１個ずつ３人に与えておき残った３個について仕切り法を使えばよいことになる。林檎を「加えたり、取ったり」しながら、１個以上の条件整備をすればどんな場合でも仕切り法で処理は可能となる。
なお、この方法を授業で説明するときは、その前段として、次の例を挙げることにしている。
| テキサスの牧場主の遺産相続の話 ３人の息子が死んだ父親から１１頭の馬を遺産として譲り受けた。 |
１１頭は、２，４，６では割り切れないから生徒は困惑する。ある程度考えさせて（悩ませて）から次のような解答を示す。
馬に跨がって砂塵の中から１人の流れ者が町にやってくる。困っている息子達に流れ者は、颯爽と馬から降り、自分の馬を１１頭の中にいれる。合わせて１２頭の馬を流れ者は、６頭，３頭，２頭に分け、それぞれ長男、次男、３男に与え、そうして残った１頭に跨がり、再び砂塵の中に消えていく（ＢＧＭ：愛しのクレメンタイン）。
この問題のトリック自体も数学として面白いものがあるが、大事なことは、１頭加えたことで割り切れなかった問題がすんなり解決してしまったということである。この「流れ者」は、問題条件の環境を最適化するためのものであり、流れ者そのものが問題の分配に関与するわけではないのである。いわば化学でいう触媒の働きを流れ者はしているわけで触媒自体は変化しないが、加えることにより反応速度は高まる。そして最後に触媒を取りのぞけばよいということである。こういった考え方は数学では式変形などで使われる場面がよくある（たとえば、ｘ４＋４の因数分解）。この加える数を仮に「触媒数」と呼ぶことにしよう。
さてこの触媒数の考え方からもう少し問題を分析してみよう。
この問題の場合は加えた３個が触媒数の働きをしていることになる。この方法は、林檎を並べるというより、置かれてある林檎を左から順に３人が取っていく場合に、どこで取るかを仕切りで判断しているわけで、ずっと現実的な分け方であろう。ただ、触媒数を加えることで、棒と丸の方法と違ってストレイトな解答にはなってはいない。しかし、一般にこの種の問題は、最低個数はいろいろと変えられて出題されるわけであるから、要は最低数の基準をどこにするかの問題に過ぎないのである。たとえば棒と丸方法では、１個以上貰う場合は、最初に各人に１個ずつ与えておき、残った個数に対して考えることになるわけである。
もう少し具体的にいうと、３人が貰う林檎の個数をそれぞれx，y，z個とすると、丸棒方式は、
x＋y＋z＝６ （x≧０，y≧０，z≧０）
を基準とし、仕切り方式は、
x＋y＋z＝６ （x≧１，y≧１，z≧１）
となる。そしてこれらは、
(x＋１)＋(y＋１)＋(z＋１)＝９ （x＋１≧１，y＋１≧１，z＋１≧１）
(x－１)＋(y－１)＋(z－１)＝３ （x－１≧０，y－１≧０，z－１≧０）
と変形すれば、他の方式に変わるだけのことなのである。
こうしてみると、環境最適化の基準をどこに置くかだけの違いで、丸棒分配、仕切り分配ともに触媒数を考えざるを得ないのである。ただ、仕切り法は、その解法の流れをみる限りは現実的な分配により近いわけで道理に合っている訳である。
Ｎｏｔｅ）
異なるｎ個から同じものを取ることを許してｒ個選ぶ場合の数の求め方を上述の３つの分配法を使って一般化してみよう。
順序組分配法
異なるｎ個をAk⇒ｋ(ｋ＝１,２,３,……,ｎ)と対応させる。
要素数ｒ個の組
を考え、適当なｋを小さい順に左から入れていく場合の数を求める。要素の値が等しくならないように、(０,１,２,……,ｒ－１)を各要素に加えていくと、１≦
≦ｎ＋(ｒ－１)であるから求める場合の数は、
丸棒分配法
選ぶｒ個 ○○○○○………○○ に対し、ｎ個に対応させるための棒(ｎ－１)個 ｜｜｜………｜｜ を考えると、
○○○○………○○ ⇒ ○○○｜○｜｜○○○○｜………｜○
A1 A2 A3 A4 ……
よって、ｒ個の○、(ｎ－１)個の・を一列に並べる順列は、
仕切り分配法
選ぶｒ個に１個以上の条件に環境を整えるためｎ個を加え、 仕切り数 (ｒ+ｎ-１)
(○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ……… ○) (○ ○ ○ ……… ○ ○)
ｒ個 ｎ個
対応するｎ個を作るには、仕切り数(ｒ＋ｎ－１)から(ｎ－１)個の仕切りを選べばよい。
これらの一般化された公式からCの左側の数字の括弧のつき方をみると、それぞれの解法の違いがはっきりする。また、Ｃの右側の数字をみると、仕切り法だけが(ｎ－１)である。すなわちこれは、ｒ個選ぶのではなく、ｎ個選んで(仕切り数としてはｎ－１）０個 という不平等を触媒数によって解消していることがわかる。
重複組合せの問題では「場合の数」が数Ⅰで学ぶこともあって、生徒には教え難い内容となるが、Ｈ（同次積）とは考えずに、Ｃ(組合せ）とみれば、題材としては面白いと思うのだが。
，次男は全体の
，３男は全体の
を貰うためにはどのように馬を分配すればよいか。