始点の視点を変えて

【問題】三角形ＡＢＣにおいて、ＡＢを１：２の比に内分する点をＤ、ＡＣの中点をＥとし、線分ＣＤと線分ＢＥの交点をＰとする。ＣＰ:ＰＤを求めよ。

　メネラウス型の問題をベクトルを使って解く場合、始点の設定が重要なポイントとなる。

　仮想平面上の原点に始点をとる場合は絶対座標系、頂点の一つにとる場合は相対座標系での解法となるが、どちらも始点を定点とみての考察である。これらの点は、固定された要素であるから、位置ベクトルの扱いも容易であり解法の流れも無理がない。では、これ以外に始点を設定するとしたらどうすればいいだろうか。例えば、線分の分点であるＤ、Ｅを考えるならば、これらの点は、動点的な色合いが強いから、始点としての馴染は薄いということになる。ましてや、求点である点Ｐともなるといわずもながであるが、実はこれ、食わず嫌いだったりもする。固定概念の殻を捨てて禁断の実をかじってみると、意外と美味しかったりする。

　さて、そこでちょっとお裾分けをと思った次第。

解）始点をＰとすると、
　　より ……�@
　　より ……�A

�@−２×�Aを計算して　（を消去）
　　
　　

　ここで、点Ｐが、線分ＣＤ上、線分ＢＥ上の点であることを考えると、
　　……(＊) である。

　よって、 　　、
　これより、
　　ＣＰ：ＰＤ＝３：２
　　ＢＰ：ＰＥ＝４：１
を得る。

　さて、この解法では、ベクトルの一次独立性は、間接的にしか関与しない。(＊)の式の左辺は、３点Ｐ，Ｄ，Ｃが１直線上にあることから直線ＣＤ上の動点である点Ｐ_１の位置ベクトルを表し、同様に、右辺は直線ＢＥ上の位置ベクトルＰ_２を表している。そして両辺が等しいことから、２点Ｐ_１，Ｐ_２は２直線の共点である点Ｐに一致するのである。

　このように、求点Ｐを始点と考えれば、点Ｐの位置ベクトルは、となるわけであるから、点Ｐが線分の中心（平均）になるように線分の比を配すればよいことになる。そこで、このことを利用して次に分点について考えてみよう。