支点としての始点

　線分ＡＢをｍ：ｎに分ける点Ｐは、点Ｐを始点とみると、
　　……(＊)
を満たすのは明らかである(右図参考、外分点についても同様に考える)。

　さらにこの始点をＯに変えると、
　　

よって、
　　
となる。

　ここで(＊)の式の点Ｐは、線分ＡＢの中心であり、これは端点Ａ，Ｂに重みをつけたときのバランス（加重平均）をとる点とみることもできる。特に、ベクトルを物理的な力とみなせば、点Ｐは、力のモーメントの支点（）と考えてよい。これから、(＊)の式から線分比を読み取ることは簡単なことであり、したがい、上述のようにさらに分点の公式にまで変形する必要性はないのである。

　では、 を満たす点Ｐはどんな中心になるのであろうか。支点を始点とみて求めてみよう。

ＥＸ）三角形ＡＢＣにおいて、　を満たす点Ｐを求めよ。

解）　　
より、線分ＡＢを３：２の比に内分する点をＱとすると、
　　
　故に、点Ｐは、線分ＱＣを４：５の比に内分する点である。

　さて、これを一般化して、
　　
を、満たす点Ｐを求める。

　　
より、線分ＢＣをｎ：ｍ に分ける点をＤとすると
　　

　故に、点Ｐは、線分ＡＤを（ｎ＋ｍ）：に分ける点である。

　さらに、
　　
　　
とみると、

線分ＢＣをｎ：ｍに分ける点をＤ、線分ＣＡを：ｎに分ける点をＥ、線分ＡＢをｍ： に分ける点をＦとするとき、線分ＡＤ，ＢＥ，ＣＦの交点が点Ｐ

であることが分かる。

　よって中心Ｐを支点とみれば、右図のようなモーメントのモデル図がつくられる。

　なお、一般に、

　　，、s>0,t>0,u>0
であるとき、s,t,uの組(s,t,u）を点Ｐの重心座標というが、この場合は、
　　
となる。特に、
　のとき、
　　であり、重心座標は、三角形ＡＢＣの幾何学的重心に一致する。

Ｎｏｔｅ）

　　より、
　　
であるから、この式は幾何学的にみれば、点Ｐが三角形ＡＢＣの内部の点であるときには、チェバの定理を、外部の点であるときにはメネラウスの定理を表すことが分かる。

　また、空間図形としてみれば、点Ｐは、同一直線上にない異なる３点Ａ，Ｂ，Ｃが作る平面上の点であることを表す。

点Ｐは三角形ＡＢＣを含む平面上の点である。

ＥＸ） 四面体ＯＡＢＣにおいて、辺ＡＢを１：２の比に内分する点をＤ、線分ＣＤを３：５の比に内分する点をＥ、線分ＯＥを１：３の比に内分する点をＦとし、直線ＡＦが平面ＯＢＣと交わる点をＰとする。このとき、ＡＰ：ＦＰを求めよ。

解）点Ｐを始点とする。

　∴ ………(＊)

　ここで、点Ｐは、平面ＯＢＣ上の点であるから、(＊)の右辺＝である。

　故に、 よって、ＡＰ：ＦＰ＝１６：１ である。

　この問題の一般的な解法は、始点をＯとして、直線のベクトル方程式を作り、パラメータの連立方程式に持ち込むのが常套手段であろう。だが、その場合、各分点の位置ベクトルは、Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｐの順に求められるから、計算の流れは分断されてしまうことになる。これを上述のように、始点を求点である点Ｐに設定すると、分点は逆に、Ｆ，Ｅ，Ｄの順に求まり、流れとしては実にスムースなのである。

　点Ｐを始点として、分点を溯っていくと、最終的には点Ｐが、平面ＯＢＣと直線ＡＦの交点であることに辿り着く。