〔問５〕前の（問４）の結果と，オイラーの多面体定理とを用いて，次のことを証明せよ。“正多面体は５種類より多くない。正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体，正二十面体に限る” |
（証明）正多面体において頂点の数をｅ，面の数をｆ，線の数をｋとするとオイラーの多面体定理より
ｅ＋ｆ－ｋ＝２・・・①
である。
正多面体なので各面の線の数をすべてｎ，１つの頂点に集まる線をすべてｍとおくことができる。
〔問４〕の結果より ｍｅ＝２ｋ・・・②，ｎｆ＝２ｋ・・・③が成り立つ。
故に
を①に代入すると
となり
となる。
ここで多面体ができるためには ｋ≧１，ｍ≧３でｋ，ｍ，ｎは整数である。
〔問１〕の結果より条件を満たす解は次の５通りである。
(1)ｎ＝３，ｍ＝３，ｋ＝６
故に ｆ＝４で正四面体（各面は三角形）
(2)ｎ＝３，ｍ＝４，ｋ＝１２
故に ｆ＝８で正八面体（各面は三角形）
(1)ｎ＝３，ｍ＝５，ｋ＝３０
故に ｆ＝２０で正二十面体（各面は三角形）
(1)ｎ＝４，ｍ＝３，ｋ＝１２
故に ｆ＝６で正六面体（各面は四角形）
(1)ｎ＝５，ｍ＝３，ｋ＝３０
故に ｆ＝１２で正中に面体（各面は五角形）
以上の結果より正多面体は５種類だけであり，しかもそれらの１つ１つの面がどのような多角形でできているかが判るのである。
《 参 考 資 料 》