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[4] 第4の問

 リニア・グラフにおいて,ある点に接合する本数をその点の次数という。

〔問4〕次を証明せよ。
(1)リニア・グラフの各点の次数の総和は線の数の2倍になる。
(2)単純多面体において,各面をかこむ線がすべてn本,1つの頂点に集まる線の数がすべてm本とするとき
  me=2k,nf=2k
となる。

(証明)
(1)リニア・グラフにおいて線は必ず2つの点を結んでいるので,各点の次数を算あげるとき,それぞれの線はその両端の点で1回づつ(つまり1本の線が2度づつ)算えられている。

(2)図でAとBをつなぐ線は点Aに集まる線として,また点Bに集まる線として,算えられている。e個の点に集まる線を算えるとき1本の線が2度づつ算えられることになる。((1)より)故に me=2k

 次に1つの面をとりまく線の数がすべてnで面の数がfとすると,すべての面をとりまく線の数はnfとなるが,これは図の線ABのように面αをとりまく線としても,面Bをとりまく線としても算えあげられていて,k本の線のすべてが二度ずつ算えあげられている。その合計がnfであるからkの2倍とnfとは等しい。故に nf=2k

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