⇒解答

趣味の数学問題集

Ａ問題

第２版

時岡郁夫　作・編集

はじめに

　この問題集は私が高校時代に作成した問題（１００題程度）と大学時代に作成した問題，教員になり作成・編集した問題をまとめたものである．
　高校時代の私の趣味は，自分で作った問題を先生方に解いてもらうことであった．問題の中には先生方でも解けない問題もあったので，私の相手をしてくれた数学の先生は１～２名しかいなかったと思う．
　Ａ問題は高校１年生で解ける程度，Ｂ問題は高校２年生で解ける程度，Ｃ問題は高校３年生で解ける程度を示している． ただ，内容に偏りがあるのは，あくまで趣味として作成した問題だからである．高校当時，私の興味をもっていた分野が，一目瞭然である．
　高校の定期考査でそのまま使用できる問題は少ないと思うが，大学入試問題としてなら使用できる問題は数多くあると自負している．
　この問題集は，数学をこよなく愛する生徒に刺激を与えるものとなることを願っている．

２０００年３月１５日
北海道札幌拓北高等学校教諭　　時　岡　郁　夫

  1. 整式 f(x)=(x4+4)(x4-8x2+4)+64x2 について，次の問いに答えよ．
    (1) f(x) を因数分解せよ．
    (2) 方程式 f(x)=0 を解け．

  2. Fn=(a+b+c)2n+1-(a2n+1+b2n+1+c2n+1)　(n=1,2,3,4,5) を因数分解せよ．

  3. ３次方程式 x3-3x+1=0 の１つの解を α とするとき，次の式の値を求めよ．
    　　　

  4. xに関する不等式
    　　　
    は -1≦x≦1のとき，常に成り立つという．このとき，点 (a,b) の存在する範囲を図示せよ．

  5. 整式 f(x)は，f(1+x)+f(1-x)=2x2, f(3)=-3f(-1) を満たしており，方程式 f(x)=0 は２重解をもつ．このような次数が４次以下の整式 f(x) を求めよ．

  6. ３次方程式 x3+px2+qx+r=0 の３つの解を α,β,γ とするとき，次の式を p,q,r を用いて表せ．
    　　　D=(α-β)2(β-γ)2(γ-α)2

  7. ３次方程式 f(x)=x3+ax2+bx+c=0 は相異なる３つの整数解をもち，ある整数 n とある素数 p に対して， f(n)+p=0 が成り立つとき，次の問いに答えよ．
    (1) a,b,c を n,p で表せ．
    (2) a,b,c の関係式を求めよ．

  8. 次の方程式の１つの解をθとおくとき，他の解をθの最低次の整式として表せ．
    (1) x3-3x+1=0
    (2) x3+x2-2x-1=0
    (3) x3+x2-4x+1=0
    (4) x3+x2-6x-7=0

  9. 有理係数の整式 f(x)=x3+ax2+bx+c は有理数の範囲で因数分解できなく，
    　　　
    が有理数であるとする．このとき，方程式 f(x)=0 の１つの解をθとするとき，他の解をθの最低次の整式として表せ．

  10. ２次方程式 x2+(a+b-p-q)x+ab-bq-aq=0 (a,b,p,q は実数)は，pq≧0 のとき実数解をもつことを証明せよ．

  11. 方程式 (a+b2)x3+(2b+c)x2+6x+2a-c=0 は，x=1 だけを解にもつ．このとき実数 a,b,c の値を求めよ．

  12. 複素係数の n次方程式 xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an=0 の１つの解をαとするとき，
    　　　
    であることを証明せよ．

  13. ４次方程式 x4-x3+ax2+x+1=0 は虚数解αをもち，(α+1/α)16＞0 のとき，実数ａの値を求めよ．

  14. x,y は整数で，13x-31y=k (定数)を満たしている．x2+y2 が最小となるとき，5x-12y=1 であった．k の値を求めよ．

  15. x,y が整数であるとき，不定方程式
    　　　13579x-97531y=k (定数)
    を解け．

  16. x,y は整数で，13579x-97531y=k (定数)を満たしている．x2+y2 が最小になるとき，
    　　　1222x-8777y=1
    であった．k の値を求めよ．

  17. 次の問に答えよ．
    (1) x｜y-4｜+y｜x+2｜=2 のグラフをかけ．
    (2) x に関する方程式 ｜a-4｜x+a｜x+2｜=2 について，
    　① 正の解をもつときの a の値の範囲を求めよ．
    　② ２つの解をもつときの a の値の範囲を求めよ．
    　③ ②で２つの解の差が最小となるときの a の値を求めよ．

  18. 次の不等式を解け．ただし，[x] はガウスの記号で，xを超えない最大の整数を表わすものとする．
    (1) [x]2-3x+2＜0
    (2) [x2]-3x+2＜0
    (3) [x2]-[3x]+2＜0

  19. 不等式
    　　　
    を解け．ただし，a は実数．

  20. x=b2+bc+c2, y=c2+ca+a2, z=a2+ab+b2 のとき，
    　　　
    を証明せよ．ただし，a,b,c は実数で，abc≠0 とする．

  21. n! を計算したとき，終わりに並ぶ0の数を N とする．次の問いに答えよ．
    (1) N を求めよ．
    (2) N＜n/4 を証明せよ．

  22. a≧1, [a]+1≦n≦[2a] （n は整数）のとき，次の問いに答えよ．
    (1) を証明せよ．
    (2) を証明せよ．

  23. 方程式 x6+x5+x4+x3+x2+x+1=0 の１つの解αに対して，βi=αi+α-i とおくとき，多項式
    　　　f(x)=(x-β1)(x-β2)(x-β3)
    を求めよ．

  24. 方程式 x12+x11+…+x+1=0 の１つの解αに対して，
    　　　βi=αi+α-i，γ1=β1+β5，γ2=β2+β3，γ3=β4+β6
    とおくとき，多項式
    　　　f(x)=(x-γ1)(x-γ2)(x-γ3)
    を求めよ．

  25. 方程式 x18+x17+…+x+1=0 の１つの解αに対して，
    　　　βi=αi+α-i，
    　　　γ1=β1+β7+β8，γ2=β2+β3+β5，γ3=β4+β6+β9
    とおくとき，多項式
    　　　f(x)=(x-γ1)(x-γ2)(x-γ3)
    を求めよ．

  26. f(x)=x4+px2+qx+r の４つの解 αi (i=1,2,3,4)に対して，
    　　　β1=(α1+α2)(α3+α4), β2=(α1+α3)(α2+α4),β3=(α1+α4)(α2+α3)
    　　　γ1=β12β2+β22β3+β32β1, γ2=β1β22+β2β32+β3β12
    とおくとき，次の問いに答えよ．
    (1) β1, β2, β3 を３つの解にもち，x3 の係数が１である３次方程式を g(x)=0 とする．g(x) を求めよ．
    (2) γ1, γ2 を２つの解にもち，x2 の係数が１である２次方程式を h(x)=0 とする．h(x) を求めよ．
    (3) f(x),g(x),h(x) の判別式をそれぞれ d(f),d(g),d(h) とおくとき，
    　　　d(f)=d(g)=d(h)
    を証明せよ．ただし，判別式とは解の差積の平方で，例えば，d(g)=(β1-β2)2(β2-β3)2(β3-β1)2 である．

  27. x,y は実数で，x3+6xy+8y3=1 のとき，x2+y2+2y の最小値と，そのときの x,y の値を求めよ．

  28. ２点 (a,b), (0,c) を通る半径 r の円の中心の座標を求めよ．ただし， とする．

  29. ２つの放物線 y=ax2+b, y=bx2+ax によって囲まれた部分の中に常に点 (2,2) が存在する．このとき，点 (a,b) の存在する範囲を図示せよ．

  30. 次の問いに答えよ．
    (1) 1+sinθ=tanθ のとき，sinθ の値を求めよ．
    (2) 1-sinθ=tanθ のとき，sinθ の値を求めよ．
    (3) 1+cosθ=tanθ のとき，cosθ の値を求めよ．

  31. 下の鋭角三角形 において，次の各々の場合における
    　　　
    の値を求めよ．
    (1) K1 は点 P が重心の場合
    (2) K2 は点 P が内心の場合
    (3) K3 は点 P が外心の場合
    (4) K4 は点 P が垂心の場合
    (5) K5 は点 D,E,F が内接円の接点の場合

  32. 三角形ABC 内に１点 P をとり，AP,BP,CP と辺BC,CA,AB との交点をそれぞれ D,E.F とする．AE=bx (0＜x<1), AF=cy (0＜y＜1) とおくとき，次の問いに答えよ．
    (1) BD,CD の長さを求めよ．
    (2) △DEF の面積 K を求めよ．ただし，△ABC の面積を S とする．
    (3) K の最大値を与える x,y の値を求めよ．また，このとき点P はどんな点か．

  33. どの内角も 120°を超えない△ABC の外部に，３点 A',B',C' を次のようにとる．３つの三角形 A'BC, AB'C, ABC' は正三角形で，互いに重ならない．このとき，次の問いに答えよ．
    (1) 線分 AA', BB', CC' は１点 P で交わることを証明せよ．
    (2) AP の長さを求めよ．
    (3) AP2+BP2+CP2 を求めよ．

  34. 三辺の和が 2s の三角形の内接円の半径を r とするとき，
    　　　
    を証明せよ．

  35. ２つの円 x2+y2=r12, (x-d)2+y2=r22 (r1+r2＜d) の共通内接線と共通外接線の方程式を求めよ．

  36. 右図の △ABCについて，次を証明せよ．
    (1) A=60°で点D が内心ならば，DE=DF
    (2) AB≠AC，点D は内心，DE=DF ならば，四角形 ABCD は円に内接する．
  37. △ABC の∠A=135°の３等分線が辺BC と交わる点を順に D,E とし，
    　　　AB=b, AD=d, AE=e, AC=c
    とおくとき，次の問いに答えよ．
    (1) bc=bd+de+ec を証明せよ．
    (2) e/b+d/c の最小値を求めよ．

  38. △ABC において，次の場合に ∠A の大きさを求めよ．ただし，m＞n＞0 とする．
    (1) a=m2-mn+n2, b=2mn-n2, c=m2-n2
    (2) a=m2+mn+n2, b=2mn+n2, c=m2-n2

  39. △ABC の辺AB, AC 上にそれぞれ点E, D をとり，線分BD と CE との交点を F とする．
    　　　AD=nAC (0＜n＜1), AE=mAB (0＜m＜1)
    とおくとき，面積比 を求めよ．

  40. 台形ABCD（AD//BC，AD＜BC）の辺AB上に点Eを，辺DC上に点Fを，EF//BCかつ四角形AEFDの面積と四角形EBCFの面積が等しくなるようにとる。AD=x，BC=y，EF=zとするとき，次の問いに答えよ．
    (1) x, y, z の関係式を求めよ．
    (2) AE：EB＝k：1 とおくとき，kの値を x, y を用いて表せ．

  41. 長方形 ABCD の辺 CD,DA 上にそれぞれ点P, Q を PC:PD=QD:QA かつ ∠PQB=∠R となるようにとる．このとき，AB, BC, CP, PD, DQ, QA の長さが整数となるものをすべて求めよ．例えば，順に 4,8,1,3,2,6．

  42. を満たす自然数 x,y,z (x≦y≦z) の値を求めよ．

  43. a,b,c,d(a≦b≦c≦d)は自然数で， を満たしている．k の最大値と，そのときの a,b,c,d の値を求めよ．

  44. 右の図式で異なる文字は異なる数字を表し，同じ文字は同じ 数字を表すものとする．Ｓ＜Ｇ，Ｒ＜Ｌとするとき，文字に数字を当てはめよ．
  45. 次の問いに答えよ．
    (1) ４つ数 1777，7177，7717，7771 の中で，素数でない数はどれか．
    (2) ５つ数 17777，71777，77177，77717，77771 の中で，素数はどれか．
    (3) ７つ数 1777777，7177777，7717777，7771777，7777177，7777717，7777771 の中で，17 を因数にもつ数はどれか．
    (4) ８つ数 17777777，71777777，77177777，77717777，77771777，77777177，77777717，77777771 の中で，素数はどれか．

  46. 次の９つの□に，１から９までの数字を１つずつ入れよ．
    (1)
    (2)

  47. 西暦□□□□年(昭和□□年)□月□□日の９ヶ所の□に１～９までの数字を１個ずつ入れよ．また，その曜日を求めよ．

  48. 右の図式で異なる文字は異なる数字を表す．ＡからＩまでの数字を求めよ。
  49. 次のＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅに当てはまる数字を求めよ．
    　　　

  50. 次の９つの□に，４を除く０から９までの数字を１つずつ入れよ．
    　　　

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