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趣味の数学問題集

第２版

時岡郁夫　作・編集

1. 
   (1) (x⁴-4x²-4)²
   (2)

2. 
   F₁=3(b+c)(c+a)(a+b)
   F₂=5(b+c)(c+a)(a+b)(�蚤²+�蚤b)
   F₃=7(b+c)(c+a)(a+b)(�蚤⁴+2�蚤³b+3�蚤²b²+5�蚤²bc)
   F₄=3(b+c)(c+a)(a+b)(3�蚤⁶+9�蚤⁵b+19�蚤⁴b²+35�蚤⁴bc+23�蚤³b³+63�蚤³b²c)
   F₅=11(b+c)(c+a)(a+b)(�蚤⁸+4�蚤⁷b+11�蚤⁶b²+21�蚤⁶bc+9�蚤⁵b³+54�蚤⁵b²c+23�蚤⁴b⁴+84�蚤⁴b³c+123�蚤⁴b²c²+159�蚤³b³c²)

3. 
   2

4. 
   

5. 
   　（復号同順）

6. 
   p²q²-4p³r+18pqr-4q³-27r²

7. 
   (1) a=-3n+p, b=3n²-2np-1, c=-n³+n²p+n-p
   (2) 4a⁴-a²b²+4a³c-24a²b+4b³-18abc-32a²+36b²+27c²+96b+64=0

8. 
   (1) -θ²-θ+2, θ²-2
   (2) -θ²-θ+1, θ²-2
   (3) -θ²-2θ+2, θ²+θ-3
   (4) -θ²+4, θ²-θ-5

9. 
   

10. 
    D=(a-b-p+q)²+4pq≧0

11. 
    　（復号同順）

12. 
    とおくと，|α_i|≦a　(i=1,2,…,n)
    |α|≧a+1 と仮定して，矛盾を導く。

13. 
    

14. 
    x=31t+12k, y=13t+5k (tは整数)　より，k=2, 3

15. 
    x=97531t+8777k, y=13579t+1222k (tは整数)

16. 
    k=6, 7, 8, …,16

    

17. 
    (1) �@x≧-2, y≧4のとき　　(x+1)(y-2)=-1
    　　�Ax＜-2, y≧4のとき　　y=-2x-1
    　　�Bx＜-2, y＜4のとき　　(x+1)(y-2)=-3
    　　�Cx≧-2, y＜4のとき　　y=-2x+1

    (2) �@ a＜1　　�A a＞2　　�B a=4
    

18. 
    (1) 2/3＜x＜1, 1＜x＜2, 2＜x＜3, 11/3＜x＜4
    (2) 2/3＜x＜1, 1＜x＜2, 2＜x＜√5, 7/3＜x＜√6
    (3) 4/3≦x＜√2, 5/3≦x＜√3

19. 
    (ｱ) a≦-27のとき
    　　　
    (ｲ) -27＜a≦0のとき
    　　　
    (ｳ) 0＜a≦5のとき
    　　　
    (ｴ) 5＜a≦8のとき
    　　　
    (ｵ) 8＜a≦9のとき
    　　　
    (ｶ) 9＜aのとき
    　　　

20. 
    2(yz+zx+xy)-(x²+y²+z²)=3(bc+ca+ab)²≧0
    x²+y²+z²-(yz+zx+xy)=(a+b+c)²{(b-c)²+(c-a)²+(a-b)²}/2≧0

21. 
    (1)
    (2) [x]≦x を使う

22. 
    省略

23. 
    x³+x²-2x-1

24. 
    x³+x²-4x+1

25. 
    x³+x²-6x-7

26. 
    (1) g(x)=x³-2px²+(p²-4r)x+q²
    (2) h(x)=x²+(-2p³+8pr-3q²)x+p⁶-12p⁴r+4p³q²+48p²r²-48pq²r-64r³+9q⁴
    (3) 省略

27. 
    1/4 (x=-1, y=-1/2)

28. 
    　（復号同順）

29. 
    

30. 
    (1)
    (2)
    (3) -1, 　（a³+a²+a-1=0 の実数解）

31. 
    (1) 1/4
    (2)
    (3)
    (4)
    (5)

32. 
    (1)
    (2)
    (3) K≦S/4, x=y=1/2　(等号は点Pが△ABCの重心のとき)

33. 
    (1) ∠APC'=∠C'PB=∠BPA'=∠A'PC=∠CPB'=∠B'PA=60°を示す。
    (2)
    (3)

34. 
    

35. 
    共通内接線　　　
    共通外接線　　　

36. 
    (1) ∠EDC=60°→△FDEは円に内接→△DEFは二等辺三角形
    (2) ∠AFD=α，∠AED=β
    　正弦定理より
    　　　
    　�@，�Aと仮定より
    　　　sinα=sinβ
    　　　　∴α+β=π　or　α=β
    　α≠βより
    　　　α+β=π
    　ゆえに円に内接する

37. 
    (1) 省略
    (2) 2(√2-1)　等号はd=eのとき

38. 
    (1) A=60°
    (2) A=120°

39. 
    

40. 
    (1) 2z²=x²+y²
    (2)

41. 
    m>n, (m,n)=1 として順に
    　　　m²n, m³, n³, n(m²-n²), mn², m(m²-n²)
    　　　<3, 1>=9, 27, 1, 8, 3, 24
    　　　<3, 2>=18, 27, 8, 10, 12, 15
    　　　<4, 1>=16, 64, 1, 15, 4, 60
    　　　<4, 3>=48, 64, 27, 21, 36, 28

42. 
    (x, y, z)=(2, 3, 15)

43. 
    k=1805/1806, a=2, b=3, c=7, d=43

44. 
    

45. 
    (1) 7771=19･409
    (2) 71777
    (3) 7777177=17･331･1471
    (4) 77777177

46. 
    (1)
    (2)

47. 
    1968 (43) 5, 27 (火)
    1968 (43) 7, 25 (金)
    1973 (48) 6, 25 (月)
    1973 (48) 5, 26 (土)
    1978 (53) 4, 26 (水)
    1978 (53) 6, 24 (土)

48. 
    

49. 
    21978×4＝87912

50. 
    1738×4＝06952，1963×4＝07852，3907×4＝15628，
    7039×4＝28156，9127×4＝36508

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