⇒解答

趣味の数学問題集

Ｂ問題

第２版

時岡郁夫　作・編集

はじめに

　この問題集は私が高校時代に作成した問題（１００題程度）と大学時代に作成した問題，教員になり作成・編集した問題をまとめたものである．
　高校時代の私の趣味は，自分で作った問題を先生方に解いてもらうことであった．問題の中には先生方でも解けない問題もあったので，私の相手をしてくれた数学の先生は１～２名しかいなかったと思う．
　Ａ問題は高校１年生で解ける程度，Ｂ問題は高校２年生で解ける程度，Ｃ問題は高校３年生で解ける程度を示している． ただ，内容に偏りがあるのは，あくまで趣味として作成した問題だからである．高校当時，私の興味をもっていた分野が，一目瞭然である．
　高校の定期考査でそのまま使用できる問題は少ないと思うが，大学入試問題としてなら使用できる問題は数多くあると自負している．
　この問題集は，数学をこよなく愛する生徒に刺激を与えるものとなることを願っている．

２０００年３月１５日
北海道札幌拓北高等学校教諭　　時　岡　郁　夫

  1. sinα+sinβ+sinγ=cosα+cosβ+cosγ=0のとき，次の問いに答えよ．
    (1) sin3α+sin3β+sin3γ=-12sinαsinβsinγ=3sin(α+β+γ) を証明せよ．
    (2) cos3α+cos3β+cos3γ=12cosαcosβcosγ=3cos(α+β+γ) を証明せよ．
    (3) (1+cosαcosβ)2+(1+cosβcosγ)2+(1+cosγcosα)2 の値を求めよ．

  2. θ=π/7 のとき，cosθcos3θcos5θ の値を求めよ．

  3. 次の四角形ABCDで，∠ADB の大きさを求めよ．
    (1) ∠ABD=20°, ∠DBC=60°, ∠BCA=50°, ∠ACD=30°
    (2) ∠ABD=20°, ∠DBC=60°, ∠BCA=30°, ∠ACD=50°

  4. 長方形ABCDの辺CDの中点をEとするとき，∠DBEの正接の値の最大値と，そのときの辺の比 AB：BC を求めよ．

  5. fn(x)=(cosθ+x sinθ)n-(cosnθ-x sin nθ) (nは２以上の整数) とおくとき，次の問いに答えよ．
    (1) fn(x) は x2+1 を因数にもつことを証明せよ．
    (2) すべての実数xに対して，f4(x)>0 となるように，sinθ の値の範囲を求めよ．

  6. x, yがすべての実数値をとるとき，次の式の最大・最小値を求めよ．
    　　　z=a sin x sin y+b sin x cos y+c cos x sin y+d cos x cos y

  7. の最大・最小値を求めよ．
    ただし， とする．

  8. 一辺の長さが a である正方形に含まれる最大の正五角形一辺の長さを求めよ．

  9. 次の問いに答えよ．
    (1) x3+y3+z3-3xyz を x，y，zの1次式の積の形に表せ．
    (2) ３次方程式 x3-3uvx+u3+v3=0 を解け．
    (3) ３次方程式 x3+ax+b=0 を解け．
    (4) ３次方程式 x3+px2+qx+r=0 の解法を述べよ．

  10. を満たすnの値の個数を求めよ．

  11. kが２以上の整数で，log10kx の仮数は log10x の仮数のk倍であるとき，次の問いに答えよ．
    (1) 0＜α＜x≦βで，上の関係を満たすxが存在するためのα, β, k の条件を求めよ．
    (2) (mは正の整数)のとき，上の関係を満たすxの値の個数を求めよ．
    (3) 上の関係を満たすxの値がn個あり，小さいものから順に並べて，i 番目の x の値を xi とおくとき，xi を α, k, i を用いて表せ．
    (4) (3)で， を求めよ．

  12. を証明せよ．

  13. 一辺の長さが n の正三角形ＡＢＣの各辺を n 等分し，右図のように格子を入れる．このとき，次の問いに答えよ．
    (1) 大小すべての正三角形の個数を求めよ．
    (2) 正三角形ＡＢＣの重心をＧ，ＢＣの中点をＤとするとき，⊿ＧＢＤに含まれる格子点の個数を求めよ．

  14. a1, a2, …, an はみな整数で， のとき， の最小値を求めよ．

  15. p=0,1,2,3,4 のとき，a1=a, an+1=2an-np (n=1,2,…) で定められる数列の一般項 an を求めよ．

  16. 次の数列の和を求めよ．
    (1)
    (2)

  17. 次の数列 {an}, {bn}の一般項を求め， を求めよ．
    　　　{an}：a1=-18, a2=-23, an+2=2an+1-an+2n
    　　　{bn}：b1=24, bn+1=2bn-n3

  18. a1=a2=…=ak-1=k (k≧2) an=ak-1akak+1…an-1+1 (n≧k) のとき，等式
    　　　
    を証明せよ．ただし， n≧k-1 とする．

  19. 数列 {an} に対して，{a(k)n} を第k階差数列とする．
    a(k-1)n+1-a(k-1)n=a(k)n (k=1,2,…,m), a(m)n+1-a(m)n=0 のとき，
    　　　
    を証明せよ．

  20. ある生徒は続けて遅刻をしないように心掛けている．この生徒が遅刻をした次の日には90％遅刻をしないが，遅刻をしなかった次の日には30％遅刻をする恐れがある．長い間には，この生徒は何％遅刻するか．

  21. 次の問いに答えよ．
    (1) のとき，
    　　　
    を証明せよ．
    (2)
    とおくとき，２つの極限値
    　　　
    を求めよ．

  22. a1≠2, anam=an+m+an-m, an+7=an （n, mは整数) で定義される０と異なる数列 {an} について，次の問いに答えよ．
    (1) a0 の値を求めよ．
    (2) a-n=an を証明せよ．
    (3) an+7m=an を証明せよ．
    (4) すべての an は，a0,a1,a2,a3 のいずれかに等しいことを証明せよ．
    (5) a1=a とおくとき，a2, a3, a4 を a で表せ．
    (6) x=a を１つの解にもつ，最低次の有理数係数の方程式 f(x)=0 を求めよ．ただし，多項式 f(x) の最高次の項の係数は１である．
    (7) f(an) の値を求めよ．
    (8) の値を求めよ．
    (9) an を a の最低次の有理数係数の多項式として表せ．

  23. ３次関数 y=x3+3x2をx軸方向にp，y軸方向にqだけ平行移動させた式をＣとおく．このとき，次の問いに答えよ．
    (1) Ｃの極値を求めよ．
    (2) Ｃが原点で対称になるように，p, q の値を求めよ．
    (3) Ｃが原点を通り，極大値が０となるように，p, q の値を求めよ．
    (4) Ｃが直線 y=9x に接し，極小値が０となるように，p, q の値を求めよ．

  24. ４次関数 y=ax4+bx3+cx2+dx+e に２点で接する接線の方程式を求めよ．ただし，3b2-8ac＞0 とする．

  25. ５次方程式 x5-2x4-2x3+7x2-5x+1=0 の５つの解のn乗の和を an とおくとき，次の問いに答えよ．
    (1) an+3-3an+1+an+2=0 を証明せよ．
    (2) a10 の値を求めよ．

  26. ３次方程式 x3+px2+qx+r=0 が相異なる３つの実数解をもつ条件を求めよ．ただし，p, q, r は実数とする．

  27. a, bが 0≦b≦a≦1 を満たしながら変化するとき，３次方程式 x3+3ax2+9bx+2ab=0 が虚数解をもたない確率を求めよ．

  28. ４つの３次方程式
    　　　x3+ax2+ax+a=0　…①，
    　　　x3+ax2+ax-a=0　…②，
    　　　x3+ax2-ax+a=0　…③，
    　　　x3+ax2-ax-a=0　…④
    について，次の問いに答えよ．ただし，a は０でない定数とする．
    (1) 相異なる３つの実数解をもつことができる方程式はどれか．またそれはどのようなaの値のときか．
    (2) ①～④すべての方程式が，実数解をもたないようなaの値の範囲を求めよ．

  29. x, y, z は実数で，x+y+z=4, xyz=2 のとき，xy+yz+zx の取り得る値の範囲を求めよ．

  30. x, y, z は実数で，x+y+z=x2+y2+z2=2 のとき，次の問いに答えよ．
    (1) max(x, y, z)-min(x, y, z) の取り得る値の範囲を求めよ．
    (2) x3+y3+z3 の取り得る値の範囲を求めよ．

  31. x, y, z は実数で，x+y+z=x2+y2+z2=x3+y3+z3 のとき，xyz の取り得る値の範囲を求めよ．

  32. xn+yn+zn=kn とおく．k1=a, k2=b, k3=c のとき，k4, k5 を a, b, c で表せ．

  33. 関数 y=sin x+cosec x+cos x+sec x+tan x+cot x について，次の問いに答えよ．
    (1) 0＜x＜π/2 におけるyの最小値と，そのときのxの値を求めよ．
    (2) π/2＜x＜2π におけるyの最大値と，そのときの sin x, cos x の値を求めよ．

  34. 関数
    　　　y=(sin x+cosec x)2+(cos x+sec x)2+(tan x+cot x)2
    の最小値と，そのときのxの値を求めよ．

  35. １を解にもたないn次方程式 f(x)=0 のn個の解を αi (i=1,2,…n) とするとき，
    　　　
    の値を求めよ．

  36. n次方程式 f(x)=xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an=0 のn個の解のk乗の和を sk とおく．
    のとき，等式 を証明せよ．

  37. 微分可能な関数 f(x) に対して，次式で定義される関数 F(x) を求めよ．
    　　　

  38. x≧1 のとき，x3, x2, x ,1 , x3-x, x2-1 の中で２番目に小さい数を f(x) とおくとき， の値を小数第２位まで正しく求めよ．
    ただし，f(1)=0 とする．また，x3-x-1=0 の実数解をαとおくとき，α=1.3247, α2+3α=5.7290 である．

  39. ３次方程式 x3+px+q=0 (p, qは実数) が，実数解α,β,γ (α≦β≦γ) をもつとき，曲線 y=x3+px+q とX軸とで囲まれた部分の面積Sをβの最低次の整式として表せ．

  40. 曲線 y=x3+ax2+bx+c とx軸とで囲まれた部分の面積は， 以下であることを証明せよ．

  41. 次の問いに答えよ．
    (1) ３次方程式 x3-3x+1=0 を x=r cosθ (r＞0, 0≦θ≦π)とおいて解け．
    (2) 曲線 y=x3-3x+1 とx軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．

  42. aiは実数（a0≠0, i=1,2, … ,n）で，kは正の定数とする．
    　　　
    のとき，n次方程式
    　　　a0xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an=0
    は，０と１の間に少なくとも１つの実数解をもつことを証明せよ．

  43. 平面上に３点 O(0,0), A(14,0), B(5,12) がある．点Pはx軸上をOからAまで動くとき，点Qもそれに伴って，常にBP上にあり，PO：PA=QP：QB を満足しながらOからBまで動く．このとき次の問いに答えよ．
    (1) 点Qの軌跡の方程式を求めよ．
    (2) 点Qの軌跡と線分OBによって囲まれる部分の面積を求めよ．

  44. 空間に４点 O(0,0,0), A(a,0,0), B(0,b,0), C(0,0,c) (a＞0, b＞0, c＞0)がある．三角錐 O-ABC に内接する球の半径の長さを求めよ．

  45. のとき，∠AOB の余弦の値をkを用いて表せ．ただし，Sは△AOBの面積である．

  46. 平面上に３点 O(0,0), A(14,0), B(5,12) がある．△AOB 内に１点Pを次の条件を満たすようにとるとき，点Pの軌跡の方程式をそれぞれ求めよ．
    (1) ∠AOP=∠OBP
    (2) ∠AOP=∠ABP

  47. 平面上に円錐曲線Cがある．その焦点Fを通る曲線の対称軸を始線(横軸)にとり，曲線との交点をRとする．始線上に点 Fに対して点Rの反対側に点Aをとり，点F, Aからそれぞれ垂線を立て，曲線の上半分との交点をそれぞれ Q, P とする．今FA=2, AP=2√3 とするとき，次の各々の場合におけるCの曲線名とFRの長さを求めよ．
    (1) FQ=1
    (2) FQ=2
    (3) FQ=3
    (4) FQ=4

  48. 定点 (c,0) (c≠0) を通る直線と２定直線 y=ax, y=bx (a＞0, b＞0, a≠b) との交点をそれぞれ A, B とするとき，線分 AB の中点Mの軌跡の方程式を求めよ．

  49. ２次曲線 ax2+2hxy+by2=c を原点中心にθ(0°＜θ＜90°) だけ回転させると，
    　　　Ax2+2Hxy+By2=c
    となった．このとき，次の問いに答えよ．
    (1) 次の等式を証明せよ．
    　　　A+B=a+b, AB-H2=ab-h2
    (2) H=0 となるように，回転角θを定めよ．
    (3) (2)のとき，2h(a-b)＞0 を証明せよ．

  50. 次の方程式を満たす複素数zはどんな曲線上にあるか．
    (1)
    (2)

  51. ｎ人の集団の中に，同じ月日に生れた人のいる確率を求めよ．ただし，２月２９日生れの人はいないものとする．また、ｎ＝２０の場合の確率を、普通の電卓を用 いて計算する方法を述べよ。

  52. α+β=u, αβ=v とおくとき，次の等式を証明せよ．
    　　　

  53. ５２枚のトランプの中から任意の５枚のカードを引くとき，次のポーカーの役の確率を求めよ．

    (1) ワンペア　

    (2) ツーペア　

    (3) スリーカード　

    (4) ストレート　

    (5) フラッシュ　

    (6) フルハウス　

    (7) フォーカード　

    (8) ストレートフラッシュ　

    (9) ロイヤルストレートフラッシュ　

  54. 白球n個の入った袋の中から１個取り出し，代わりに黒球１個を入れる．次にまた，その袋の中から１個取り出し，代わりの黒球１個入れる．
    この操作をm回繰り返したとき，袋の中に白球r個残っている確率 P(n,m,r) を求めよ．ただし，白球，黒球とも同形同質で，袋の中からは同程度に選ばれるものとする．

  55. 下図に含まれる大小すべての正方形，長方形の個数を求めよ．

    　　　

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