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趣味の数学問題集

第２版

時岡郁夫　作・編集

1. 
   (1)(2) z₁=cosα+i sinα，z₂=cosβ+i sinβ，z₃=cosγ+i sinγとおくと，
   　　　z₁³+z₂³+z₃³=3z₁z₂z₃
   (3) 33/16

2. 
   -1/8

3. 
   (1) 30°
   (2) 10°

4. 
   √2/4，√2：1

5. 
   (1) f(i)=0
   (2) -√6/3＜sinα＜０， ０＜sinα＜√6/3

6. 
   最大値　
   最小値　

7. 
   最大値　
   最小値　

8. 
   

9. 
   (1) (x+y+z)(x+ωy+ω²z)(x+ω²y+ωz) （ωは１の虚数立方根）
   (2) x=-u-v, -ωu-ω²v, -ω²u-ωv
   (3) とおくと
   　　x=A+B, ωA+ω²B, ω²A+ωB
   (4) x=ξ-p/3 とおくと，ξ³+aξ+b=0　(ただし，a=-p²/3+q, b=2p³/27-pq/3+r)

10. 
    9≦n≦98　90個

11. 
    (1)
    (2) m(k-1)
    (3)
    (4)

12. 
    
    　　以下略

13. 
    (1)
    (2)

14. 
    

15. 
    p　　→　a_n
    0　　→　1+2^n-1(a-1)
    1　　→　n+1+2^n-1(a-2)
    2　　→　n²+2n+3+2^n-1(a-6)
    3　　→　n³+3n²+9n+13+2^n-1(a-26)
    4　　→　n⁴+4n³+18n²+52n+75+2^n-1(a-150)

16. 
    (1)
    (2)

17. 
    a_n=2ⁿ-7n-13
    b_n=n³+3n²+9n+13-2ⁿ
    

18. 
    省略（数学的帰納法）

19. 
    省略

20. 
    25%

21. 
    (1) 省略
    (2)

22. 
    (1) 2
    (2) 省略
    (3) 省略
    (4)
    (5) a₂=a²-a, a₃=a³-3a, a₄=a⁴-4a²+2
    (6) x³+x²-2x-1=0
    (7)
    (8) 37/2
    (9)

23. 
    (1) 極大値　q+4 (x=p-2 のとき)，極小値　q (x=p のとき)
    (2) p=1, q=-2
    (3) (p,q)=(2,-4),(-1,-4)
    (4) (p,q)=(3,0),(-5/9,0)

24. 
    

25. 
    (1) 因数分解　(x-1)²(x³-3x+1)=0
    (2) a₀=5, a₁=2, a₂=8，a₃=-1, a₄=20, a₅=-13, a₆=59, a₇=-61,
    　a₈=188, a₉=-244, a₁₀=623, a₁₁=-922, a₁₂=2111

26. 
    p²q²-4p³r+18pqr-4q³-27r²＞0

27. 
    より，
    　　　∴

28. 
    (1) �A　→　a＜-1, 27/5＜a，　�C　→　a＜-27/5, 1＜a
    (2) -1＜a＜0, 0＜a＜1

29. 
    a=xy+yz+zx とおくと
    

30. 
    (1) 最大値　2/√3 (x=(2+√3)/3, y=2/3, z=(2-√3)/3)
    　 最小値　1 (x=1, y=1, z=0 または x=4/3, y=1/3, z=1/3)

    (2) 2≦x³+y³+z³≦22/9

31. 
    a=xyzとおく。
    最大値　1，最小値　-√3/27

32. 
    k₄=(a⁴-6a²c+3b²+8ac)/6
    k₅=(a⁵-5a³b+5a²c+5bc)/6

33. 
    (1) 2+3√2, x=π/4
    (2)1-2√2
    　　（複号同順）

34. 
    13,

35. 
    f '(1)/f(1)

36. 
    省略

37. 
    

38. 
    
    

39. 
    S=(3pβ²+9qβ+2p²)/4

40. 
    省略

41. 
    (1)
    (2)

42. 
    f(x)=x^k(a₀xⁿ+a₁x^n-1+a₂x^n-2+…+a_n)とおくと，より

43. 
    (1) x=19y/12-7y²/72 (0≦y≦12)
    (2) 28

44. 
    

45. 
    

46. 
    　円
    　直角双曲線

47. 
    (1) 双曲線，2/5
    (2) 放物線，1
    (3) 楕円，2
    (4) 円，4

48. 
    2abx²-2(a+b)xy+2y²-2abcx+(a+b)cy=0　（双曲線）
    

49. 
    (1) 省略
    (2) a=bのとき　θ=45°
    　a≠bのとき　
    (3) 省略

    

50. 
    (1) 2x²-2y²+1=0　（直角双曲線）
    (2)

51. 
    
    ここでｎ＝２０を代入する
    ＝−（３６４÷３６５×３６３÷３６５×３６２÷３６５・・・×３４６÷３６５−１）＝０．４１１４３８３８３６
    と入力すると、オーバーフローなく計算できる。

52. 
    省略

53. 
    (1)
    (2)
    (3)
    (4)
    (5)
    (6)
    (7)
    (8)
    (9)

54. 
    

55. 
    

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