⇒解答

趣味の数学問題集

Ｃ問題

第２版

時岡郁夫　作・編集

はじめに

　この問題集は私が高校時代に作成した問題（１００題程度）と大学時代に作成した問題，教員になり作成・編集した問題をまとめたものである．
　高校時代の私の趣味は，自分で作った問題を先生方に解いてもらうことであった．問題の中には先生方でも解けない問題もあったので，私の相手をしてくれた数学の先生は１～２名しかいなかったと思う．
　Ａ問題は高校１年生で解ける程度，Ｂ問題は高校２年生で解ける程度，Ｃ問題は高校３年生で解ける程度を示している． ただ，内容に偏りがあるのは，あくまで趣味として作成した問題だからである．高校当時，私の興味をもっていた分野が，一目瞭然である．
　高校の定期考査でそのまま使用できる問題は少ないと思うが，大学入試問題としてなら使用できる問題は数多くあると自負している．
　この問題集は，数学をこよなく愛する生徒に刺激を与えるものとなることを願っている．

２０００年３月１５日
北海道札幌拓北高等学校教諭　　時　岡　郁　夫

  1. Ｏを原点として，平面上に n+1 個の点 A0,A1,A2, … ,An を次のようにとる．
    　　　A0(1，0)，∠Ai+1OAi=2π/n，∠OAiAi+1=π/2（i=0,1,2,…,n-1，n≧5）
    　このとき，次の問いに答えよ．
    (1)　多角形 A0A1A2…An（かたつむり形）の面積を求めよ．
    (2)　 を求めよ．

  2. のとき，次の問いに答えよ．
    (1)　tanα0，tan(α0＋α1)，tan(α0＋α1＋α2) の値を求めよ．
    (2)　tan(α0＋α1＋…＋αn-1) の値を求めよ．
    (3)　無限級数 を求めよ．

  3. 数列 {an}，{bn}は
    　　　
    によって定義される．ただし，n=0,1,2,… で，定数 a はすべての n に対し
    　　　αn－βn≦3π/20
    を満たす最小の整数である．このとき，次の問いに答えよ．
    (1) cot 3π/20 の値を求め，その近似値を小数第２位まで計算せよ．
    (2) a の値を求めよ．
    (3) tan(α0－α1) ，tanβ0 ，tan(α1－α2) ，tanβ1の値を求めよ．
    (4) 無限級数 を求めよ．
    (5) 無限級数 を求めよ．

  4. y2(y＋1)=x(x＋1)2 のとき，次の極限値 α，β をそれぞれ求めよ．
    (1)
    (2)

  5. を求めよ．

  6. n!の桁数をN，N(n)=n(log10n-log10e)+2 とおくとき，次の問いに答えよ．
    (1) を求めよ．
    (2) を求めよ．

  7. p1,p2,…,pn を０でない相異なる数とする．このとき，「p1 分のp2分の…分のpn 」と読める分数の個数を an とおく．例えば，n=2 のとき，「p1 分のp2 」= より，a2=1，n=3 のとき，「p1分のp2分のp3 」= より，a3=2 である．次の問いに答えよ．
    (1) を証明せよ．
    (2) anを求めよ．
    (3) を求めよ．
    (4) を求めよ．

  8. n桁の自然数の中から１つ取り出して，そのm乗が m(n-1)+1 桁になる確率を P(n,m) とおくとき，次の問いに答えよ．ただし，m は自然数とする．
    (1) P(n,m) を求めよ．
    (2) を求めよ．
    (3) 任意のn の値に対して，P(n,m)≧0.01 となる最大の m の値を求めよ．
    　ただし，log101.09=0.0374 とする．

  9. のとき， の値を求めよ．

  10. 分数方程式 (定数)について，次の問いに答えよ．
    (1) k＞0 のとき，正の解３個，負の解２個もつことを証明せよ．
    (2) K=0 のとき，解を求めよ．

  11. 台形 ABCD（AD//BC，AD=1，BC=x＞1）においてAB，DC の中点をそれぞれ E,F，また，２本の対角線の交点 G を通り，EF に平行な直線が AB,DC と交わる点をそれぞれ H,I とするとき，次の問いに答えよ．
    (1) を求めよ．
    (2) f(x) の最大値と，そのときのxの値を求めよ．

  12. ２定点 A(0,1)，B(0,2) に対し，y=x2 上に点Pをとる．AP+BP が最小になるとき，点Pのy座標を求めよ．

  13. (1+2x+3x2+…)m の xn の係数を求めよ．

  14. x＞0,y＞0,z＞0 のとき， の最大値を求めよ．
  15. 一辺の長さが a である正三角形ABC の辺 BC,AB 上にそれぞれ点D,E を ∠BAD=∠ADE=θ となるようにとる．θ が0からπ/3 まで連続的に変化するときの三角形ADE の面積の平均値を求めよ．

  16. ＜次の文の□に数式を入れよ＞２定点 A(a,0),B(－a,0)（a＞0）からの距離の積がa2 に等しい点の軌跡の方程式は (x2+y2)2=□ である．これを極座標(極を原点，始線をx 軸の正の方向にとる)で表すと，r2=□となり，この曲線をレムニスケートという．この曲線によって囲まれる部分の面積は□で，この曲線をx軸のまわりに回転して得られる立体の体積は□である．

  17. ２次曲線 ax2+2hxy+by2+2gx+2fy+c=0 が実楕円を表す条件と，その面積を求めよ．

  18. z は複素数で，２曲線 |z|=1,｜z+|z|｜=1 によって囲まれる部分で，原点を含まない方の面積を求めよ．

  19. 閉区間 ［0,π/4］で，次の曲線で囲まれる部分の面積を求めよ．
    (1) y=sin x，y=cos x，y=tan x
    (2) y=cos x，y=tan x，y=cot x，y=sec x
    (3) y=cot x，y=sec x，y=cesec x

  20. 曲線 6x3+11x2y+6xy2+y3=xと x軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．

  21. x|x+y|+y|x-y|=1 のとき， の値を求めよ．

  22. について，次の問に答えよ．
    (1) f(-x)=f(x) を証明せよ．
    (2) f(x) を求めよ．
    (3) f(x) の最小値を求めよ．
    (4) を求めよ．

  23. 次の条件①～④を満たす何回も微分可能な関数 f(x) を求め，下の問いに答えよ．
    　①
    　② f(0)=0
    　③ f '(0)=b-a=c≠0
    　④
    (1) f(x) の最大・最小値と，そのときの x の値を求めよ．
    (2) 曲線 y=f(x) と x軸との間の部分の面積を求めよ．

  24. 等式 を証明せよ．

  25. 次の無限級数をそれぞれ求めよ．
    (1) のとき， を求めよ．
    (2) のとき， を求めよ．

  26. とおくとき，次の問いに答えよ．
    (1) f(x) を求めよ．
    (2) f(x) の最大値と，そのときの x の値を求めよ．
    (3) 区間［0,1］におけるf(x) の平均値を求めよ．ただし，f(0)=2,f(1)=1 と定義する．

  27. 不定積分 を求めよ．

  28. tan y=x2+x+1 のとき， を求めよ．

  29. 次の定積分を求めよ．
    (1)
    (2)

  30. ３次方程式 x3+3ax2+9bx+2ab=0（a,bは実数） …①について，次の問いに答えよ．
    (1) ①が実数解だけをもつとき，点 (a,b) の存在する範囲を図示せよ．
    (2) k を正の定数として，0≦b/k≦a≦1 を満たす任意の a,b を選んだとき①が実数解しかもたない確率 P(k) を求めよ．
    (3) (2)で P(k) の最大値と，そのときの k の値を求めよ．

  31. とおくとき，次の問いに答えよ．
    (1) ① S0，S1 の値を求めよ．
    　② Sn，Sn-2 の関係式を求めよ．
    　③ nSn-1Sn の値を求めよ．
    　④ の値を求めよ．
    (2)① cos x=y とおくと，S2m+1 はどうなるか．
    　② cot x=y とおくと，S2m-2 はどうなるか．
    　③ 1-y2≦e-y2≦1/(1+y2) を証明せよ．
    　④ を証明せよ．
    　⑤ を証明せよ．
    (3)① の値を求めよ．
    　② の値を求めよ．
    　③ の値を求めよ．
    　④ とおくとき， の値を求めよ．

  32. 棒を水平に持って幅 a メートルの廊下から，それに直角な幅 b メートルの廊下に曲がりたい．これが可能であるための棒の最大の長さを求めよ．


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