−教育現場のおける基礎研究−

行列方程式の解法について

（可換零因子の存在と一意性）

０、前回の訂正と補足

(３) �T　ＡＢ＝ＯとなるＡ，Ｂの必要十分条件は何か？

Ａ＝（ｍ，ｎ），Ｂ＝（ｎ，ｌ）とする。

Prop２ ＡＢ＝Ｏ⇔ＩｍＢ⊆KerＡ

Cor　　ＡＢ＝Ｏ⇒rankＡ＋rankＢ≦ｎ

Def８（零因子の定義）
　Ａが零因子とは、ＯでないＡに対して、∃Ｂ≠Ｏ ｓ.ｔ. ＡＢ＝Ｏ または ＢＡ＝Ｏ

　このように定義して、『rankＡ＋rankＢ≦ｎ』を仮定すると、Ａに対して『ＩｍＢ⊆KerＡ』つまりＢ＝(ｂ'_１…ｂ'_ｌ)をKerＡ＝{ａ_１…ａ_ｍ}^⊥のsub.sp.ととれば、Corのも成立。
この結果、�Tの回答として『ＡＢ＝Ｏ⇔rankＡ＋rankＢ≦ｎ』が得られる。　☆☆

４ 任意の行列Ａに対して、ＡＢ＝Ｏ，ＣＡ＝ＯとなるＢ，Ｃをそれぞれ構成せよ。

ＡＢ＝ＯとなるＢの構成については、３で明らかになった。
次に、ＣＡ＝ＯとなるＣの構成については，Ｃを（ｋ，ｍ）行列とすると☆☆より、『ＣＡ＝Ｏ⇔rankＣ＋rankＡ≦ｍ』が得られる。
具体的には，Prop１を使うと、Ｖ^ｍ⊇ImＡ：sub.sp.より、Ｖ^ｍ＝(ImＡ)(ImＡ)^⊥
(ImＡ)^⊥≡｛ｘ∈Ｖ^ｍ：ｘ�Sａ'_ｉ＝０，１≦∀ｉ≦ｎ｝＝｛^ｔｘ∈Ｖ^ｍ：^tｘＡ＝０｝
　ここで、行ベクトル：^tｘ＝（ｘ₁…ｘ_ｍ）∈Ｖ^ｍはＶ^ｍのsub.sp.である。よって、
　　　　　ｃ_ｉ∈Ｖ^ｍ
１≦∀ｉ≦ｋの構成は、Ａに対して、｛ｃ_１…ｃ_ｋ｝を(ImＡ)^⊥のsub.sp.ととればよい。

　以上の中で、『Def８（零因子の定義）』からを、訂正、補足します。この中の、☆☆は成立しません。何故なら、『rankＡ＋rankＢ≦ｎ』を仮定すると、そのときＡ，Ｂは、既に与えられているので、Ａに対して『ＩｍＢ⊆KerＡ』、つまりＢ＝(ｂ'_１…ｂ'_ｌ)をKerＡ＝{ａ_１…ａ_ｍ}^⊥のsub.sp.ととることはできないからです。
　したがって、これに関係した部分を、下記の通りに訂正します。
　また、この訂正の中で、左零因子、右零因子を使っていますので、上記のDef８（零因子の定義）『Ａが零因子とは、ＯでないＡに対して、∃Ｂ≠Ｏ ｓ.ｔ. ＡＢ＝Ｏ または ＢＡ＝Ｏ』を、本稿７頁のDef１で、左零因子、右零因子、可換零因子まで言及して再定義しました。

［訂正後］

　上記Prop２のCorの逆は、成り立たない。
　本稿７頁のDef１のように定義すると、�Uの回答は、与えられたＡに対してProp２より、『ＩｍＢ⊆KerＡ』、つまりＢ＝(ｂ'_１…ｂ'_ｌ)をKerＡ＝{ａ_１…ａ_ｍ}^⊥のsub.sp.となるようにＢを構成すればよい。Ｂ＝Ｏは自明であるので、これを除外したＢが構成できるためのＡの条件を考えると、次のようになる。

Prop３ Ａが左零因子⇔１≦rankＡ≦ｎ−１

pr)（⇒）Def８よりＡ≠Ｏに対して、∃Ｂ≠Ｏ ｓ．ｔ．ＡＢ＝Ｏ
　Ａ≠Ｏより、１≦rankＡ。
　Ｂ≠Ｏより、１≦rankＢ。よって、Prop２のCorより、rankＡ≦ｎ−rankＢ≦ｎ−１
　　　∴ １≦rankＡ≦ｎ−１
（）Th３のCorより、１≦ｎ−dim(KerＡ)≦ｎ−１ ∴１≦dim(KerＡ)≦ｎ−１
　Ｂ≡KerＡととれば、Ｂ≠ＯかつProp２よりＡＢ＝Ｏ よって、Ａは左零因子　　□

Cor１ Ａが右零因子⇔１≦rankＡ≦ｍ−１

Cor２ Ａが零因子 ⇔１≦rankＡ≦Max(ｍ，ｎ)−１

　次に、ＣＡ＝ＯとなるＣの構成については，Ｃを（ｋ，ｍ）行列とすると，Prop１より、
　　　Ｖ^ｍ⊇ImＡ：sub.sp.、Ｖ^ｍ＝(ImＡ)(ImＡ)^⊥
　(ImＡ)^⊥≡｛ｘ∈Ｖ^ｍ：ｘ･ａ'_ｉ＝０，１≦∀ｉ≦ｎ｝
　　　　　＝｛^ｔｘ＝（ｘ_１…ｘ_ｍ）∈Ｖ^ｍ：^ｔｘＡ＝０｝
はＶ^ｍのsub.sp.である。 よって
　　　　　ｃ_ｉ∈Ｖ^ｍ
１≦∀ｉ≦ｋの構成は、Ａに対して、｛ｃ_１…ｃ_ｋ｝を(ImＡ)^⊥のsub.sp.ととればよい。 ［以上、訂正終］

　本稿は、前回とリンクしているのですが、前回のレポートをみていない方も対象に記述しました。そのため、前回と一部重複しているところがあります。

１、はじめに

２次の正方行列については、Caylay-Hamiltonの方程式 Ａ２−(ａ＋ｄ)Ａ＋(ａｄ−ｂｃ)Ｅ＝Ｏを使えば、Ａのｎ次方程式Ｆ(Ａ)＝Ｏに対してＡの次数を下げて、ｓＡ＝ｔＥとできる。 （�@）s≠０のとき、Ａ＝ｋＥ，ここでｋはＦ(ｋ)＝Ｏの解 （�A）s＝０のとき、ｔ＝０，このときＡは、ｓ＝ｔ＝０なる行列 としている。

　この方法を仮に『ｓＡ＝ｔＥ法』と名付けよう。
　ところが、同氏は『§５ おわりに 注�A』で、『(Ａ−２Ｅ)(Ａ＋Ｅ)＝Ｏより、det(Ａ−２Ｅ)＝０，det(Ａ＋Ｅ)＝０から、Ａ＝２Ｅ，−Ｅ以外の解を得ることもできるが理論的に難点があることに注意しなければならない』としている。
　同氏のここでいう難点とは、零因子の存在である。つまり、行列方程式を解くに当たり、立ちはだかるのが零因子なのである。
　実際の教育の現場で、生徒に指導する場合は、上記の『ｓＡ＝ｔＥ法』が容易であり、零因子を避けて指導することになる。しかし、生徒は後述のように零因子に興味、関心をもっているので、教育的指導の立場からは、逆に積極的に零因子を研究し動機づけに大いに活用したいものである。そうすることによって、教師自身も生徒と共に学ながら数学の世界を広げられよう。
　本稿の目的は、前回のレポートを発展させ、『行列における零因子とはいかなる構造をしているか』という生徒からの質問に、さらに具体的に応えると共に、零因子を応用した行列方程式の解法である。
　本稿でのキーワードは、可換零因子であるが、このアイデアは、極めて単純である。それは、(Ａ−２Ｅ)(Ａ＋Ｅ)＝(Ａ＋Ｅ)(Ａ−２Ｅ)＝Ｏを観察していて、Ａ−２ＥとＡ＋Ｅとが可換であることから思いついたのである。したがって、本稿は、この『可換零因子』を重要な条件として展開している。

２、零因子とは何か

(１)　高校生にとっての零因子

　高校生にとって初めての零因子との出会いは、新鮮な驚きである。本校でも、かつて数学Ｃの授業で生徒から『行列における零因子とはいかなる構造をしているか』『どうすれば零因子がつくれるのか』という質問があったばかりでなく、昨年の本校生徒の加賀谷英樹君は、以下の通りの小研究を試みた。

(２)　生徒の小研究（要旨）

　上記のような例から、２次の正方行列について『零因子⇒逆行列をもたない』ことが予想されるので、これを背理法によって証明。（必要条件）
　ところが、逆に
　　　
のように、『逆行列をもたない』からといって『零因子』になるとは限らないので、十分条件についても考えた。
　　　　　
とおくとき、必要条件より、ａ_１//ａ_２、ｂ'_１//ｂ'_２であるが、必要十分条件として
　　　 『ＡＢ＝Ｏ⇔ａ_ｉ･ｂ'_ｊ＝０⇔ａ_ｉ⊥ｂ'_ｊ　１≦∀ｉ，ｊ≦２』
を導いた。

３、零因子の定義

Def１（零因子の定義）
�@ Ａが左零因子とは、ＯでないＡに対して ∃Ｂ≠Ｏ ｓ．ｔ．ＡＢ＝Ｏ
�A Ａが右零因子とは、ＯでないＡに対して ∃Ｂ≠Ｏ ｓ．ｔ．ＢＡ＝Ｏ
�B Ａが零因子とは、Ａが左零因子または右零因子、つまり
　　ＯでないＡに対して ∃Ｂ≠Ｏ ｓ．ｔ．ＡＢ＝Ｏ または ＢＡ＝Ｏ
�C Ａが可換零因子とは、Ａが左零因子かつ右零因子、つまり
　　ＯでないＡに対して ∃Ｂ≠Ｏ ｓ．ｔ．ＡＢ＝ＢＡ＝Ｏ

Remark このように定義すると、『Ｐが零因子⇔Ｐは逆行列をもたない』が成立する

Def２（行相似、列相似）
正方行列Ｐ，Ｑについて
ＰとＱが『行相似』とは、ＰとＱの対応する各行ベクトル同士が従属
ＰとＱが『列相似』とは、ＰとＱの対応する各列ベクトル同士が従属

Remark 通常の線型代数学では
　『ＰとＱ相似⇔∃Ａ s.t. detＡ≠０ かつ Ｑ＝Ａ^-1ＰＡ』と定義しているが、ここでの行相似、列相似とは、単純に各行や列の成分の定数倍のことである。

以下すべて、２次の正方行列に限るものとする。

Lemma１（左零因子同士または右零因子同士の関係） Ａ≠０のとき、
　　ＢＡ＝ＣＡ＝Ｏ⇒ＢとＣは、行相似、つまり、左零因子同士は行相似
　　ＡＢ＝ＡＣ＝Ｏ⇒ＢとＣは、列相似、つまり、右零因子同士は列相似

pr) detＡ＝０より、Ａの各列ベクトルａ'_ｊ同士が従属
したがって、　とおくと､ＢＡ＝ＣＡ＝Ｏよりｂ_ｉ･ａ'_ｊ＝ｃ_ｉ･ａ'_ｊ＝０
つまり、ｂ_ｉ⊥ａ'_ｊかつｃ_ｉ⊥ａ'_ｊ よって、ｂ_ｉとｃ_ｊは従属となり、ＢとＣは、行相似
同様に、『ＡＢ＝ＡＣ＝Ｏ⇒ＢとＣは、列相似』も成立する　　□

pr) Ｂ＝Ｏ または Ｃ＝Ｏのときは､ｋ＝０ととれば成立するので、Ｂ≠Ｏ かつ Ｃ≠Ｏとする
detＢ＝０より、detＣ＝０よりとおくと、Lemma１よりＢとＣは行相似だからｃ＝ｌｂとおくと
次に、再びLemma１よりとＣは列相似より、とおくとＣ＝(ｌｍ)Ｂが成立。
このとき、ｋ＝ｌｍとおくとｋ≠０　　□

４、可換零因子の存在と一意性

pr)については、背理法により成立
⇒についてとすると、detＡ＝ａｄ−ｂｃ＝０

［第１段］Ｂの存在を示す
Caylay-Hamiltonの方程式より、Ａ^２−（ａ＋ｄ）Ａ＝Ｏ
　　　{Ａ−(ａ＋ｄ)Ｅ}Ａ＝Ａ{Ａ−(ａ＋ｄ)Ｅ}＝Ｏ
よって、Ａ≠Ｏに対して、とおけば、
Ｂ≠Ｏ かつ ＢＡ＝ＡＢ＝Ｏ が成立する

［第２段］Ｂの一意性を示す
if，∃Ｃ≠Ｏ s.t. ＡＣ＝ＣＡ＝Ｏとすると
detＡ＝０、ＢＡ＝ＣＡ＝Ｏ かつ ＡＢ＝ＡＣ＝Ｏが成立しているので、
Lemma２.より，∃ｋ≠０:スカラー s.t. Ｃ＝ｋＢ
よって、ＣはＢの定数倍 となり、Ｂの一意性が成立する　　□

Th２.（可換零因子の構造）
Ａ≠Ｏ、Ｂ≠Ｏとする。Ａ＝(ａ_ij)，Ｂ＝(ｂ_ij)で表すと
　　ＡＢ＝ＢＡ＝Ｏ⇔detＡ＝detＢ＝０ かつ ∃ｋ≠０:スカラー s.t.
　　　　　　　　　　　ｋａ_ii＋ｂ_jj＝０，ｋａ_ij＝ｂ_ij，１≦∀ｉ≠ｊ≦２

pr)についてとおくと、detＡ＝ａｄ−ｂｃ＝０
ｋａ_ii＋ｂ_jj＝０,ｋａ_ij＝ｂ_ij １≦∀ｉ≠ｊ≦２より､となる
このとき、ＡＢ＝ＢＡ＝Ｏが成立
⇒について 背理法によりdetＡ＝detＢ＝０が成立
とすると、Main Theorem１．よりであるから
　　　ｋａ_ii＋ｂ_jj＝０，ｋａ_ij＝ｂ_ij １≦∀ｉ≠ｊ≦２が成立　　□

　冪零行列は、Def１から可換零因子の特別な場合である。次のCor２.ように、行列方程式が重解のとき、冪零行列になるので、冪零行列の構造についても調べる必要がある。

Pop１．（冪零行列と固有値） 　Ａを冪零行列、つまりＡ^ｍ＝Ｏ かつ Ａ^ｍ−１≠Ｏ⇔Ａの固有値はすべて０

pr)については、Caylay-Hamiltonの方程式で解と係数の関係から成立
⇒について、Ａの任意の固有値をλとすると、∃ｘ≠０ ｓ．ｔ．Ａｘ＝λｘ
よって、Ａ^ｍｘ＝Ａ^ｍ−１（Ａｘ）＝Ａ^ｍ−１（λｘ）＝λ（Ａ^ｍ−１ｘ）
以下同様にして、Ａ^ｍｘ＝λ^ｍｘが成立。 Ａ^ｍ＝Ｏよりλ^ｍ＝０ ∴λ＝０　　　□

Cor１．２次の正方行列では、Ａが冪零行列⇔ Ａ２＝Ｏ かつ Ａ≠Ｏ

Remark２．このCorの結果、冪零行列Ａの構造は、ｍ＝２のときについて調べればよい

Cor２．(Ａ−αＥ)^ｋ＝Ｏ,ｋ≧２ ⇔ Ａ＝αＥ、αＥ＋Ａ_０ ここで detＡ_０＝trＡ_０＝０

５、行列方程式の解法について

pr) 条件より、因数分解して (Ａ−αＥ)(Ａ−βＥ)＝(Ａ−βＥ)(Ａ−αＥ)＝Ｏ ☆
よって、(�@) Ａ＝αＥ、βＥ は成立
次に(�A)は、Th２を使って示す
とおくと、　
ここで、Ａ−αＥ≠Ｏ，Ａ−βＥ≠Ｏであるから、Th２より☆は次の２式と同値
　ｄet(Ａ−αＥ)＝det(Ａ−βＥ)＝０ かつ (ａ−α)＋(ｄ−β)＝０
解と係数の関係より ａ＋ｄ＝−ｋ,ａｄ−ｂｃ＝ｌ つまりtrＡ＝−ｋ，detＡ＝ｌが成立。
特に、α＝β（重解）のとき、(Ａ−αＥ)^２＝Ｏより、Ａ＝αＥ以外の解は、Th２のCorより、ｄet(Ａ−αＥ)＝０ かつ tr(Ａ−αＥ)＝０ と同値である。
同様に解と係数の関係よりａ＋ｄ＝−ｋ,ａｄ−ｂｃ＝ｌ つまりtrＡ＝−ｋ,detＡ＝ｌが成立　　□

６、まとめ 　−今後の進展−

　Th２は、『可換零因子の構造』についての明快な結果である。それを可能にしたのは、MainTheorem１で『可換零因子の解の存在と一意性』が保証されたからである。一般に、数学では、存在は容易であるが、その一意性が問題になることが多い。
　具体例を上げると、例えば本校の職員レクリェーションでかつて、余興的に出題された問題である。『１／３＝(１／ｘ)＋(１／ｙ)＋(１／ｚ) をみたす異なる自然数（ｘ，ｙ，ｚ）の組を３０秒間で求めよ』と言われて時間内にできなかったことがある。要領のいい人は、多分ｘ，ｙ，ｚとして適当な３の倍数を考えて、数当てをするであろう。しかし、その結果、答えの１つが見出されたとしても、それは答えの１つが求まっただけであって、解の全てである保証はない。ここが、算数と数学の分岐点である。数学では、解の存在の次に、解は唯一つか、それ以外に解はないか、さらに論証しなければならないのである。
　本稿で、２次の正方行列について、『可換零因子の構造』が明らかになったが、これを３次以上にすると様相が一変する。３次元空間を考えただけでも、ＡＢ＝Ｏのとき、次のように３通り考えられるので、一意性は言えなくなってしまうからである。

Ａ，Ｂが３次の正方行列のとき
ＣＡＳＥ１：Ａ，Ｂが２次のときの単純な拡張。このとき、ａ_i、ｂ'_jで１つの平面πを決定している。（πを３次元空間の真部分空間という。）

ＣＡＳＥ２：ａ_iが１つの平面πを決定して、π⊥ｂ'_j （このとき、πを｛ｂ'_j｝の直交補空間、または｛ｂ'_j｝をπの直交補空間という。）

ＣＡＳＥ３：上と逆にｂ'_jが１つの平面πを決定して、π⊥ａ_i（直交補空間も同様）

まとめると、空間（３次元）では
『ＡＢ＝Ｏ⇔ａ_iを含む平面πまたは直線ｌと、ｂ'_jを含む直線ｇまたは平面Σが、垂直』
　　(このとき、平面π、直線ｌを、それぞれ直線ｇ、平面Σの直交補空間という｡)

　一般に、これをｎ次元に拡張すると、ｎ次元空間を垂直な２つの部分空間Ｗ_１、Ｗ_２に分割したとき、このＷ_１からａ_iを、Ｗ_２からｂ'_jをとれば、ＡＢ＝Ｏが成立する。
　このように一意性は無理としても、前回のレポートでｎ次元空間で可換零因子の存在が証明できたので、ｎ次正方行列の中で可換零因子が集合的にどんな位置付けになるか研究する余地は残っている。この場合、本稿での議論がどれだけ３次元以上に拡張、発展できるか、今のところ全く見通せていない。また、２次正方行列でも、行列次方程式の解法以外に、可換零因子が応用が考えられる。
　教育的にも研究的にも、零因子はその定義すら曖昧で、厄介者扱いされているようで残念なことである。一般の零因子は、明らかに研究対象にはなり得ないが、行列における零因子は大いに教育的かつ研究的に開発の余地を残していると思う。

(２)　数学教育における説明責任
　最近、情報公開と共に説明責任が盛んに言われるようになった。数学教育の世界でも、いろいろな場面で説明責任が問われるであろう。この中で、生徒からの数学に関する質問、疑問に対して、きちんと対応することは、説明責任ということばを使うまでもなく、数学教師としては当然の義務である。これらの責任や義務を果たさないと、教師と生徒間の信頼関係は根本から崩れてしまうであろう。数学教師として数学に関して生徒に責任をもつためには、今回の『零因子』に限らず、基礎研究は必要不可欠である。