１．2次方程式の虚数解のイメージ化

　一般に実係数の２次方程式 f(x)＝0の実数解は，xy平面上におけるy＝f(x) のグラフとx軸との共有点のx座標である。しかし，虚数解のときのその実態はわかりにくい。虚数解を実数解のようにイメージ化する方法を考えてみよう。

　具体的に次の関数を例にとって考えてみる。

　　y=x²−2x+5･･･�@

　y=(x−1)²+4 より，xが実数のときグラフはfig_1_1のようになる。

　このとき，方程式

　　x²−2x+5＝0･･･�A

は実数解を持たない。解はx＝1±2i という虚数解になる。

　それではxを虚数解と考えx=u+vi (u，v は実数) としてみると，

　　 y＝(u＋vi)²−2(u＋vi)＋5

　　　＝u²＋2uvi−v²−2u−2vi+5

　　　＝(u²−v²−2u+5)＋2v(u−1)i･･･�B

　yが実数になる場合を考えると，

　　2v(u−1)＝0　　　∴ v＝0 または u=1･･･�C

　このとき，yの実数部分 Real y は，

　　 Real y=u²−v²−2u+5･･･�D

となる。

　ここまでを図示してみる。x=u+vi は u，vを両座標軸にとった平面（複素平面）上の点 (u，v) で表わされる。

　そして，その原点Oでこの平面に垂直に実平面を立てた空間を考え，その3次元空間で y=f(x)=f(u，v) のグラフを考えれば良いことになる。 (fig_1_2参照)

　�DのReal y=u²−v²−2u+5 のグラフはfig_1_3のようになる。

　ここで，�Cの2つの場合を考えてみよう。

(1) v=0のとき (xが実数のとき)

　　�Dより　Real y=u²−2u+5 となり，x=u+vi=u だから

　　Real y=u²−2u+5= x²−2x+5

　これはfig_1_1で示されているものと同じ実数解を持つ場合である。

　このことを別な角度からイメージ化すると次のようになる。先ほどの3次元空間上の

　　曲面 Real y=u²−v²−2u+5 と平面v=0

の交線を考える。この交線こそuy平面 (xy平面)上の放物線である。(fig_1_4参照)

(2) u=1のとき

　�Dより Real y=u²−v²−2u+5=1−v²−2+5＝−v²＋4

　ここでy＝0となるのは，−v²＋4＝0より v＝±2

　すなわちy＝0となる点はuv平面との交点 (1，±2) ，つまりx＝1±2i で，これが�Aの方程式

　　x²−2x+5＝0

の解となる。

　このことをまた3次元空間上のイメージとして捕らえてみよう。今度は次の2つの図形の交線と考えられる。

　　曲面 Real y=u²−v²−2u+5 と平面 u=1

　この交線（放物線）と平面 y＝0の交点が (1，±2，0) となる。 (fig_1_5参照)