授業のノート２

＜数学史＞　２．面積の求め方の歴史

①基本（単位）

われわれにとっての面積の基準

　　この面積を「cm^２」と定義し、これを基準とする。

②線分で囲まれる図形

Ｑ．平行四辺形、台形の公式が成り立つ理由を説明せよ

・古代エジプトの土地の測量術
　ナイル川で定期的な氾濫
　→畑の区画の引き直しを１年に１度しなければならなかった＝測量術の発達

③曲線で囲まれた図形Ⅰ－円の面積－

④曲線で囲まれた図形Ⅱ－区分求積法－

・カバリエリの原理（イタリア）（「不可分の幾何学」：曲面、曲線についての研究）
２つの平面図形があるとき、もし一定方向に平行な直線が、これらの図形によって切り取られる線分の長さの比が常に一定の比ｍ：ｎならば、この図形の面積比はｍ：ｎになる。

Ｑ．楕円は、右の図のように円の直径を軸として一定方向に圧縮したものと考えられる。これとカバリエリの原理を用いて、楕円の面積を求めよ。
Ａ．円の面積はＳ＝（１）でカバリエリの原理より円と楕円の面積比は
　　（１）：（楕円）＝（２）：（３）　従って、（楕円）＝（４）

・積分による面積の求め方
　カバリエリは、直線で面積の比を表すという方法で、「面積（２次元）を「線分の和（１次元）」として示した。この考え方を発展させていったのがフェルマー（仏）たちの考えである。

求める領域を薄くスライスして，幅がｄｘ，縦がｆ(ｘ)の微小面積ｆ(ｘ)・ｄｘの棒状長方形に分割する。これらを寄せ集めたものが，求める面積である。

　このフェルマーたちの考え方と微分の基礎を作り上げたのがニュートン（英）とライプニッツ（独）である。そして、現在のような表し方をするようになったのが、リーマンによるのでこの積分を「リーマン積分」という。

Ｑ．別紙の図の面積を、フェルマーたちの考え方を使って長方形の和で近似することにより求めよ。