数学史を数学教育に活用する視点

千歳北陽高等学校　　熊　田　達　夫

１数学史を学ぶ意義

　現行の学習指導要領の目標には、高等学校段階で数学の履修を終える生徒に対するより一層の配慮が必要になってきている。そして、このような生徒に求められている数学的な資質は、単なる数学の知識や技能に重きを置くものではなく、見通しをもち筋道を立てて考えたりすることができるという能力である。数学の学習を通して身に付けた、数学的なものの見方や考え方を中心とした数学的な資質は、将来にわたって生きて働き、社会生活を営む上で有効に活用される。したがって、数学教育においては、知識や技能をいかに多く教え込むかではなく、どういう考え方の下にどのような取り組み方をすればよいかを教えることが重要となってくるのである。

　次期学習指導要領で新設される「数学史」では上記の目標を深化発展させたものと考えるべきである。そのために以下の観点に立った数学観が求められる。

数学を学問体系としてのみでなく、個々の数学の内容が、人間の生活や自然科学・社会科学・哲学思想などとどうかかわっているのか。
数学者の思考がどのように働いて、数学が創られたのか。
それが発見されたことによって、数学の進歩発展や、さらに他の学問領域や社会にどのような影響を及ぼしたか。

　ここに掲げたような内容は、将来数学を専攻するものにも、また数学とは無縁な一般社会人の教養としても大切なものである。

２総合学習としての数学史

　次期学習指導要領では、総合学習が新しく導入される。数学と世界史と物理を結びつけた総合学習の教材として微積分が考えられる。高等学校で扱われる微積分や確率統計は天文学・力学・物理学などの自然科学や政治経済や人間の社会生活・思想とかかわって誕生したものである。学問として体系化された数学では、こうした背景は捨て去られてしまっている。

　微積分は１７世紀に近代科学、特に動力学の手段として創られたものである。以下の内容は東京工業大学名誉教授、遠山啓が学生・生徒・教師・父母を対象として微積分をわかりやすく講演したものである。（詳細は遠山啓著『コペルニクスからニュートンまで』太郎次郎社参照）

中世ヨーロッパの社会と科学（ルネッサンスと科学革命、天動説から地動説）
円錐曲線とケプラーの天体法則（円錐曲線と惑星の楕円軌道、ケプラーの法則からニュートン力学へ）
関数の発見と微分積分学の確立（関数と何か微分積分学とは何か）
ニュートン力学の成立（運動量保存の法則の発見、ニュートン力学の建設）
微分積分学の思想と威力（微分積分の意味と方法、微分積分の計算と微分方程式）

　以上の講義は、関数を微分したり積分したりする技術の練習を目的としたものではなく、高等学校数学の主要部分である微積分が、どのようにして創られたのものかを教えるものである。このような指導をすれば、微積分が抽象的な計算技術の学問でなく、近代科学とかかわって誕生したことが生徒に理解される。

　ヨーロッパの近代科学は、近代の世界像を生み、近代思想の源泉となったものである。こういう背景とともに微積分を導入すれば、学習の意義も理解され、生徒の学習意欲が喚起される。

３数の拡張と数学史

　生徒にとって一番身近な数学的な対象は数である。数の拡張は理論的には、形式原理にもとづいて、正の整数 ⇒ 負の整数 ⇒ 有理数 ⇒ 無理数 ⇒複素数の順で行われるが、歴史的順序は自然数 ⇒ 有理数 ⇒ 無理数 ⇒負数 ⇒ 複素数で理論的順序とは異なっている。

　人類が数を拡張していく過程を体系的に学習すると、世界共通な学問と考えられる数学が地域や民族によって違いがあることがわかる。バビロニア・エジプトでは有理数を分数で、中国では小数をもとにして考えている。

　また、三平方の定理は世界各地で独立に発見されたものと思われているが、発見の背景やそれが扱っている問題はかなり異なっている。

　現在では世界中の人が同じ数字、同じ記号を用いて数学を学習・研究しているが、歴史を振り返ってみると数学そのものがもつ意義、数学が果たしてきた役割の相違などがみられる。そこで、このようなことを何らかの方法で教えることによって、数学を世界的視野からみて、異文化に対する理解を深めるのに役立たせることができる。つまり、数学教育における国際化教育とは、教材を世界史的観点からみることによって、異なる様々な見方・考え方があることを理解させることである

　さらに、力のある生徒に対しては３次方程式の解法から誕生した虚数単位ｉが三角関数と指数関数を結び付けるオイラーの公式に現れることや、複素数の拡張である四元数に触れると数学のもつ奥深さや美しさを感じてもらえる。

４課題学習と数学史

　中学校の学習指導要領では、第２学年及び第３学年においては、生徒の主体的な学習を促し数学的な見方考え方の育成を図るため、各領域の内容を総合したり日常の事象に関連付けたりした適切な課題を設けて行う課題学習を、指導計画に適切に位置付け実施するものとする。課題学習は数学的な知識・技能の習熟より、生徒の数学に対する興味・関心や創造力、活用する力の育成を主眼にしている。

　自ら学ぶ意欲を育てるためには、第一に興味・関心をもってもらわないとならない。そのためには、数学教師として立場から数学的に興味のある課題でなく、生徒が興味・関心を示すような課題を選ぶことが大切である。

　課題の選定に当たっては次の３条件を満たすものを考慮する必要がある。

漫画世代の生徒にとって面白いもの
今の生徒は非常に功利的なので、役に立つもの
生徒の興味・関心は狭いので、身近にあってよく知っているもの

　以上の３つの条件を満足する題材として、① 図形数 ② 魔方陣 ③ 円周率の歴史 ④ 黄金比とフィボナッチ数列 ⑤ メルセンス数などが考えられる。

５数学者のエピソードと数学史

　生徒に数学は身近なもの、楽しいものと感じてもらうためには、数学者の伝記・逸話なども有効である。高校で学習す内容に関係する数学者、タレス、ピタゴラス、アルキメデス、カルダーノ、デカルト、ニュートンなどはエピソードにことかかない。彼らのエピソードを教科通信で取り上げたりすることも大切である。

６大学入試問題と数学史

　力のある生徒には大学入試も考慮しなければならない。歴史的な背景をもった問題を考えられた時代にさかのぼって指導することも、生徒の理解を深めるために大切である。

　そのためのイントロとして効果的な番組がある。平成７年７月２４日から８月１１日までＮＨＫで放映された「秋山仁の数学タイムトラベル」である。

　その内容は

第１回数列の和（ピタゴラスの小石並べ）
第２回平方根の近似と不等式（バビロニア人の知恵）
第３回数三角形と二項定理（パスカルが見つけた神秘の宝庫）
第４回期待値と戦略（フェルマーへの手紙）
第５回自然と数学その１（フィボナッチ数列と黄金比）
第６回不定方程式と整数解（オイラーと互助法の逆利用）
第７回平面幾何の証明とは（ユークリッドと定理の連鎖）
第８回座標平面と２次曲線（図形を式で表した男・デカルト）
第９回作図と方程式（ガウスが夢で見たもの）
第10回自然数と数学その２（指数計算を簡便化したネーピアの秘術）
第11回図形と三角比（天体の幾何学者プトレマイオス）
第12回高次方程式の解法（立方体をモデルに３次方程式を解いたカルダノ）
第13回求積法（思考天秤で体積を求めたアルキメデス）
第14回微積分の基本定理（ニュートンのひらめき）
第15回自然と数学その３（ケプラーと宇宙を支配する曲線）
　たとえば、第12回では３次方程式のカルダノ・タルタリアの解法のアイディアを紹介して、以下の山梨医科大学の問題を扱っている

　３次方程式…①