「２つの線分の交点の位置ベクトルや内分比を求める裏技（教師用）」のレポートを読んで

　数学のいずみＨＰの実践記録・レポートに載っている、札幌東高校　佐藤　清先生のレポート「２つの線分の交点の位置ベクトルや内分比を求める裏技（教師用）」を読んで、形はちがう式ですがについて、私も同じような使い方をしています。こんな見方はどうでしょうか。

１直線上にない３点Ａ，Ｂ，Ｃの位置ベクトルをそれぞれ，，とするとき、次のことを証明せよ。 (1)　点Ｐが、Ａ，Ｂ，Ｃの定める平面上にあるために必要十分な条件は、Ｐの位置ベクトルが次の形に書かれることである。 　　　 ，ｌ＋ｍ＋ｎ＝１ (2)　上の式でｌ，ｍ，ｎがすべて正ならば、Ｐは△ＡＢＣの内部にある。

（証明）
(1)　Ｐを平面ＡＢＣ上の点とすると
　　　　・・・・・　�@
と書ける。これを位置ベクトルで表すと
　　　　・・・・・　�A
　　　　・・・・・　�B
よって、ｌ＝１−ｍ−ｎとおくと
　　　，ｌ＋ｍ＋ｎ＝１　・・・・・�C
　逆に、�Cが成り立てば、�B，�A，�@が導かれるから、Ｐは平面ＡＢＣ上にある。

(2)ｌ＞０ ，ｍ＞０，ｎ＞０のとき、
　　　
とおくと、０＜ｍ＜１だから、Ｍは辺ＡＢ上（端は除く）の点となる。そして、�@から
　　　　・・・・・　�D
よって、直線ＭＰはＡＣと平行である。これと辺ＢＣとの交点をＱとすると
ＭＱ：ＡＣ＝ＭＢ：ＡＢ＝（１−ｍ）：１から
　　　　・・・・・　�E
�D，�Eで、１−ｍ＝ｌ＋ｎ＞ｎ＞０ だから、，は同方向で、ＭＰ＜ＭＱ
したがって、Ｐは線分ＭＱ上（端は除く）にあるから、△ＡＢＣの内部にある。

　このとき、注目したいのがと △ＡＢＣ の辺などの内分比の関係です。図のようになっていて、(�@),(�A),(�B)の特徴があります。

1. ＣＤ：ＤＢ＝ｍ：ｎ，　ＢＦ：ＦＡ＝ｌ：ｍ，　ＡＥ：ＥＣ＝ｎ：ｌといったように、ｌ，ｍ，ｎを繰り返す。

2. ＡＤ，ＢＥ，ＣＦの交点Ｐについて、ＡＤ上の点Ｐとして着目したとき、
   　　　ＡＰ：ＰＤ＝(ｍ＋ｎ)：ｌ
   となっていて、ｍ＋ｎはＡＦ＋ＡＥ，ｌはＢＦ（ＣＥ）に対応できる。
   ＢＥ，ＣＦについても同様の見方をする。

3. の，，の係数は、頂点Ａ()に対する辺ＢＣに関する比に出てこない文字ｌ，，も同様にｍ，ｎを対応する。

　(�@),(�A),(�B)を使って、佐藤先生の［問題］を考えてみます。

［問題］
　三角形ＡＢＣにおいて、，とし、辺ＡＢ，ＡＣの内分点Ｄ，Ｅを次のように定める。
　　　ＡＤ：ＤＢ＝ａ：ｂ，　ＡＥ：ＥＣ＝ｃ：ｄ
　このとき、ＤＣとＢＥの交点をＰ、ＡＰとＢＣの交点をＱとする。
(1) ＢＱ：ＱＣの比を求めよ。
(2) をとで表せ。

［作図］
　(�@)よりＢＤとＣＥは同じ値で対応させればよいので、ｂとｄの最小公倍数ｂｄに置きかえます。このとき、ＡＤ，ＡＥはａｄ，ｂｃが対応し(図１)、ｂｄ，ａｄ，ｂｃを繰り返すので、ＢＱ，ＱＣにｂｃ，ａｄを対応させる(図２)。このとき、ＡＰ，ＰＱは(�A)より、ａｄ＋ｂｃ，ｂｄが対応。

(1)　図２より　ＢＱ：ＱＣ＝ｂｃ：ａｄ
(2)　図３より計算しても良いが、(�B)を使うと
　　　

問題１　△ＡＢＣにおいて線分ＡＢを２：１に内分する点をＭとし、線分ＡＣを３：２に内分する点をＮとする。また、２つの線分ＣＭとＢＮとの交点をＰとし、直線ＡＰと辺ＢＣとの交点をＱとする。このとき
(1)ベクトルを、で表せ。
(2)ベクトルを、で表せ。
(3)面積の比 △ＡＢＰ：△ＢＣＰ：△ＣＡＰ を求めよ。

問題２　平面上に△ＡＢＣと点Ｐがありである。このとき△ＰＡＢ、△ＰＢＣ、△ＰＣＡ の面積比を求めよ。