問　題　１

　以下の各設問に答えよ。ただし問題中の数はすべて負でないものとし，「負でない」という言葉をすべて省略する。したがって，例えば「整数」と書いてあれば「負でない整数」を意味するものと考えること。また解答中においても，「負でない」という言葉を省略してよい。

(1)	5の倍数の下一桁（一の位）を調べると，表�Tのように，0と5しか現れない。一方，3の倍数の下一桁を調べると，表�Uのように，一桁の整数（0，1，2，･･･，9）がすべて表れる。この表�Uの例のように，一桁の整数でその倍数の下一桁に0，1，2，…，9のすべてが現れるものを全部答えよ。 　〔※この設問(1)のみ，計算や説明等を書かなくてもよい。〕 　次に正の整数ｐの倍数の下二桁に，00，01，02，…，99のすべてが現れるかどうかを調べよう。（ただし，00と0，01と1などを同一視する。）そのために， 　　　ａｎ＝ｎｐ　　（ｎは正の整数） と定める。例えば，ｐ=9であるとき， 　　　ａ1=9，ａ2=18，ａ3=27，ａ4=36，…である。
(2)	ｐがまたはの倍数のとき，ａｎの下二桁には，00，01，02，・・・，99のすべては現れない。空欄に当てはまる2数とその理由を述べよ。（ただし，空欄に当てはまる数は100,200など無数にあるので，最も本質的と思われる2つを答えること。また，理由は厳密な証明でなくてもよい。）
(3)	ｐが(2)の2数，のいずれの倍数でもないときは，ａｎの下二桁に00，01，02，・・・，99のすべてが現れるのではないかと期待できる。ｋ＜ｌを満たす正の整数ｋ，ｌについてａｋとａｌの下二桁が等しいとき， 　　　ａｌ-ａｋ=100ｍ　　（ｍは正の整数） と表わせることを用い，ａ1，ａ2，ａ3，…，ａ100の中に下二桁が等しいものがあると仮定すると矛盾が生じることを示すことにより，この期待が正しいことを証明せよ。
(4)	99以下の正の整数で，その倍数の下二桁に00，01，02，…，99のすべてが現れるものはいくつあるか。 　〔※答えだけでなく，簡単でよいから計算も示すこと。〕

着眼点

解答例