問題文 |
以下の各設問に答えよ。ただし問題中の数はすべて負でないものとし,「負でない」という言葉をすべて省略する。したがって,例えば「整数」と書いてあれば「負でない整数」を意味するものと考えること。また解答中においても,「負でない」という言葉を省略してよい。
(1) |
![]() 〔※この設問(1)のみ,計算や説明等を書かなくてもよい。〕
次に正の整数pの倍数の下二桁に,00,01,02,…,99のすべてが現れるかどうかを調べよう。(ただし,00と0,01と1などを同一視する。)そのために,
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(2) |
pが![]() ![]()
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(3) |
pが(2)の2数![]() ![]() al-ak=100m (mは正の整数) と表わせることを用い,a1,a2,a3,…,a100の中に下二桁が等しいものがあると仮定すると矛盾が生じることを示すことにより,この期待が正しいことを証明せよ。
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(4) |
99以下の正の整数で,その倍数の下二桁に00,01,02,…,99のすべてが現れるものはいくつあるか。 〔※答えだけでなく,簡単でよいから計算も示すこと。〕 |
着眼点 |
解答例 |
(1) | 1,3,7,9 |
(2) | 2,5 理由:2の倍数は偶数であり,奇数が現れないから。また,5の倍数の下一桁には0と5しか現れないから。 |
(3) | pは2,5のいずれでも割り切れない正の整数とする。 a1,a2,a3,…,a100の中に下二桁が等しいものがあると仮定すると,1≦k<l≦100をみたすある正の整数k,lについて al−ak=100m (mは正の整数) すなわち lp−kp=100m p≠0なので両辺をpで割ると l−k=100m/p 左辺l−kは正の整数だから,右辺も正の整数。pは2,5のいずれでも割り切れないので,pと100の最大公約数は1だから,右辺が正の整数となるのはm/pが正の整数であるときに限る。よって l−k=100・m/p≧100・1 ところが 1≦k<l≦100 であったから l−k≦100−1=99 となり矛盾。 したがってa1,a2,a3,…,a100の100個の数の下二桁はすべて異なるので,00,01,02,…,99のすべてが現れる。 |
(4) |
99以下の正の整数のうち 2の倍数は49個 5の倍数は19個 10の倍数は9個 よって99以下の正の整数のうち2でも5でも割り切れない数の個数は 99−(49+19−9)=40個 ・・・(答) |