問　題　２

　正三角形ＡＢＣに外接する円の劣弧ＢＣ上の点Ｐを右図のように与える。

(1)	ＰＣの延長上に点ＤをＰＢ＝ＣＤとなるようにとり，図に記入せよ。（free handでよい）
(2)	ＡＰ＝ＡＤを証明せよ。
(3)	ＰＡ＝ＰＢ＋ＰＣを証明せよ。
(4)	正三角形ＥＦＧの外部に点Ｔを下図のようにとる。△ＥＦＴをＥを中心として正の方向に60°回転させたとき，Ｔの移る点をＳとする。 　ＴＥ＝ＴＦ＋ＴＧならば，Ｔ，Ｇ，Ｓは同じ直線上にあることを証明せよ。

着眼点

解答例

(1)	省略（図に記入）
(2)	△ＡＢＰをＡを中心として正の方向に60°回転するとＢはＣに移る。 　∠ＡＣＤ＝∠ＡＢＰから，線分ＢＰは線分ＣＤに移るから，ＰはＤに移る。 　つまりこの回転によって△ＡＢＰは△ＡＣＤに移る。 　　　∴△ＡＢＰ≡△ＡＣＤ　　∴ＡＰ＝ＡＤ ＜別証＞ 　四角形ＡＢＰＣは円に内接するから 　　　∠ＡＣＤ＝∠ＡＢＰ　かつ　ＡＣ＝ＡＢ，ＣＤ＝ＰＢ 　よって，2辺とそのはさむ角が等しいから 　　　△ＡＢＰ≡△ＡＣＤ　　∴ＡＰ＝ＡＤ
(3)	ＡＤはＡＰを60°回転したものであるから，△ＡＰＤは正三角形である。 　　　∴ＰＤ＝ＰＡ 　　　∴ＰＡ＝ＰＤ＝ＰＣ＋ＣＤ＝ＰＢ＋ＰＣ ＜別証＞ 　(2)より，ＡＤ＝ＡＰ　……�@ 　また，∠ＤＡＣ＝∠ＰＡＢ 　　　∴∠ＤＡＰ＝60°　……�A �@�Aより△ＡＰＤは正三角形である。 　　　∴ＰＤ＝ＰＡ 　　　∴ＰＡ＝ＰＤ＝ＰＣ＋ＣＤ＝ＰＢ＋ＰＣ
(4)	△ＥＦＴをＥを中心として正の方向に60°回転したとき，Ｔの移る点がＳだから， 　　　△ＥＦＴ≡△ＥＧＳ　　∴ＴＦ＝ＧＳ　……�B 　また， 　　　ＴＥ＝ＳＥ　かつ　∠ＳＥＴ＝∠ＧＥＦ＝60° ゆえに，△ＥＴＳは正三角形である。 　　　∴ＴＥ＝ＴＳ 　仮定より，ＴＥ＝ＴＦ＋ＴＧ　だから 　　　ＴＳ＝ＴＧ＋ＧＳ　（∵�B） よって，Ｔ，Ｇ，Ｓは同じ直線上にある。（証明終）