【TOP】 【BACK】

問　題　５

問題文

　f(ｘ)はすべての実数で定義された関数で，任意の実数ｘ，ｙに対して，
　　　
を満たしている。
　このとき，次の各問に答えよ。

(1) ｆ(0)の値を求めよ。
(2) ｘ＞0のとき，ｆ(-ｘ)＜ｆ(0)＜ｆ(ｘ)を示せ。
(3) 　任意の実数ｘに対して，ｆ(ｘ)＞0を示せ。
(4) 　ｘ＜ｙのとき，ｆ(ｘ)＜ｆ(ｙ)を示せ。

着眼点

　①が不等式ではなくて，ｆ(ｘ＋ｙ)＝ｆ(ｘ)ｆ(ｙ)であれば，これは，指数関数の満たす関数方程式なので，ｆ(ｘ)は指数関数のもつ性質をいくつか受けつぐことになります。ところが，本問は，不等式で表わされているので，少しやっかいです。関数方程式に関する問題を解いたことがない人にとっては，難しかったかもしれません。
　(1)では，ｆ(0)の値を求めたいので，与えられた式①，②から，ｆ(0)を作り出せばよい。そこで，ｘ＝ｙ＝0としてみます。手を動かしてみれば，答えが出てくるでしょう。
　(2)は，②からｆ(ｘ)＞1（＝ｆ(0)）がすぐにわかります。残りは，ｆ(0)＝ｆ(ｘ＋(－ｘ))≧ｆ(ｘ)ｆ(－ｘ)を利用することに気づけば難しくありません。
　①の式のｘとｙに，同じ値ａを代入すると，
　　　ｆ(2ａ)≧｛ｆ(ａ)｝2
と，2乗の形が出てきます。ですから，例えば，①のｘとｙのところに，ｘ/2をあてはめれば，
　　　f(ｘ)=f(ｘ/2＋ｘ/2)≧｛f(ｘ/2)｝2≧0
となり，ｆ(ｘ)≧0がわかります。ところが，(3)で証明したいのは，ｆ(ｘ)＞0ですから，ｆ(ｘ)≠0を示さなければなりません。
　ところで，ｘ＞-1のときは，②よりｆ(ｘ)＞0であり，したがって，ｆ(ｘ0)=0となる実数ｘ0があればｘ0≦－1となるはずです。このようなｘ0が存在すると仮定して，①と②から矛盾を導くなど，うまく証明してください。
　(4)は，「ｆは単調増加関数であることを示せ。」という問題で，(3)までの問題がヒントになっています。
　この関数のモデルは，f(ｘ)＝ｅｘです。この指数関数は，数学Ⅲで登場する関数で，ｅは，ｅ＝2.71828…という無理数です。余力のある人は，以下の問(5)，(6)にも挑戦してみてください。
　ただし，(6)は数学Ⅲの知識が必要です。
(5)ｈ＞0のとき，任意の実数ｘに関して，
　　　
が成り立つことを示せ。
(6)関数ｆが連続であるとき，次の(ア)，(イ)，(ウ)を証明せよ。
　(ア) ｆは微分可能で，ｆ'(ｘ)＝ｆ(ｘ)
　(イ)
　(ウ) ｆ(ｘ)＝ｅｘ

解答例

(1) ①にｘ＝ｙ＝0を代入して，　ｆ(0)≧｛ｆ(0)｝2
よって　0≦ｆ(0)≦1
②にｘ＝0を代入して，ｆ(0)≧1
ゆえに　ｆ(0)＝1　　　（答）ｆ(0)＝1
(2) ｘ＞0のとき，②より
　　　ｆ(ｘ)≧ｘ＋1＞1＝ｆ(0)
また，①より，
　　　1＝ｆ(0)＝ｆ(ｘ＋(－ｘ))≧ｆ(ｘ)ｆ(－ｘ)
ｆ(ｘ)＞1であったから
　　　ｆ(－ｘ)≦1/ｆ(ｘ)＜1＝ｆ(0)
ゆえに　ｆ(-ｘ)＜ｆ(0)＜ｆ(ｘ)　　（証明終）
(3) ①より，
　　　f(ｘ)=f(ｘ/2＋ｘ/2)≧｛f(ｘ/2)｝2≧0
なので，f(x)≠0を示せばよい。
　背理法で証明する。
f(ｘ0)=0なる実数ｘ0が存在すると仮定すると，f(ｘ0)≧｛ｆ(ｘ0/2)｝2より，f(ｘ0/2)＝0
同様にして，
　　　f(ｘ0/2)≧｛f(ｘ0/4)｝2より，ｆ(ｘ0/4)＝0
これを繰り返していけば，
　　　f(ｘ0/2ｎ)＝0　……③
が任意の自然数ｎに対して成り立つことがわかる。
一方，②から，
　　　f(ｘ0/2ｎ)≧ｘ0/2ｎ＋1
であるから，（2ｎ＞｜ｘ0｜となるような）十分大きい自然数ｎに対しては，
　　　f(ｘ0/2ｎ)＞0
これは，③に矛盾する。したがって，任意の実数ｘに対して，
　　　f（x）＞0
が成り立つ。　　　（証明終）
(4) ｘ＜ｙのとき，1＜ｆ(ｙ－ｘ）であるから，辺々にｆ(ｘ)＞0をかけて，
　　　ｆ(ｘ)＜ｆ(ｙ－ｘ)ｆ(ｘ)≦ｆ(ｙ－ｘ＋ｘ)＝ｆ(ｙ)
ゆえに，ｆ(ｘ)＜ｆ(ｙ)　　　（証明終）
＜(5)と(6)の解答例＞
(5) ｈ＞0のとき
　　　ｆ(ｘ＋ｈ)≧ｆ(ｘ)ｆ(ｈ)≧ｆ(ｘ)(ｈ＋1)　　（∵(3)）
　　　　　　　　　　　　　＝ｈｆ(ｘ)＋ｆ(ｘ)
したがって，
　　　
また，ｆ(ｘ)＝ｆ(ｘ＋ｈ－ｈ)
　　　　　≧ｆ(ｘ＋ｈ)ｆ(－ｈ)
　　　　　≧ｆ(ｘ＋ｈ)(－ｈ＋1)　　（∵(3)）
　　　　　＝－ｈｆ(ｘ＋ｈ)＋ｆ(ｘ＋ｈ)
したがって，
　　　
ゆえに，
　　　　　　（証明終）
(6) (ア)(5)のｘをｘ－ｈに置き換えることにより，
　　　
　したがって，ｆが連続であれば，(5)とはさみうちの原理から，
　　　
　がわかる。すなわち，ｆは微分可能で，
　　　ｆ'(ｘ)＝ｆ(ｘ)
　が成り立つ。　　　（証明終）
(イ)　　　（証明終）
(ウ)(イ)より，log f(ｘ)＝ｘ＋Ｃ（Ｃは積分定数）
　ｘ＝0を代入すると，log f(0)＝Ｃ．よってＣ＝0となり，
　　　log f(ｘ)＝ｘ　　∴f(ｘ)＝ｅｘ　　　（証明終）

【TOP】 【BACK】